Номер 41, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 41, страница 21.

Условие.

41. Найти все принадлежащие промежутку $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ решения неравенства:

1) $\cos 2x < \frac{1}{2}$;

2) $\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Требуется найти все решения неравенства $\cos{2x} < \frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Для решения этого неравенства введем замену переменной. Пусть $t = 2x$.
Определим, в каком промежутке находится переменная $t$. Поскольку $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$, умножим все части двойного неравенства на 2: $2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2x \le 2 \cdot \frac{3\pi}{2}$, что дает $-\pi \le t \le 3\pi$.

Теперь наша задача — решить неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$ на промежутке $t \in [-\pi, 3\pi]$.

Сначала рассмотрим уравнение $\cos t = \frac{1}{2}$. Его решениями являются $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$ выполняется для тех значений $t$, которые на тригонометрической окружности лежат в дуге между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$. Общее решение этого неравенства: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем из этих решений те, которые попадают в наш промежуток $t \in [-\pi, 3\pi]$. Для этого переберем значения $n$:

• При $n=-1$: $-\frac{5\pi}{3} < t < -\frac{\pi}{3}$. Пересечение с промежутком $[-\pi, 3\pi]$ дает $[-\pi, -\frac{\pi}{3})$.
• При $n=0$: $\frac{\pi}{3} < t < \frac{5\pi}{3}$. Этот интервал полностью входит в промежуток $[-\pi, 3\pi]$.
• При $n=1$: $\frac{7\pi}{3} < t < \frac{11\pi}{3}$. Пересечение с промежутком $[-\pi, 3\pi]$ (учитывая, что $3\pi = \frac{9\pi}{3}$) дает $(\frac{7\pi}{3}, 3\pi]$.

Объединяя найденные интервалы для $t$, получаем: $t \in [-\pi, -\frac{\pi}{3}) \cup (\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}) \cup (\frac{7\pi}{3}, 3\pi]$.

Произведем обратную замену $x = t/2$. Для этого разделим концы полученных интервалов на 2:

• Из $t \in [-\pi, -\frac{\pi}{3})$ следует $x \in [-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6})$.
• Из $t \in (\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$ следует $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.
• Из $t \in (\frac{7\pi}{3}, 3\pi]$ следует $x \in (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}]$.

2)

Требуется найти все решения неравенства $\cos{3x} > \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Введем замену переменной $t = 3x$.
Определим промежуток для $t$. Умножим неравенство $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ на 3: $3 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 3x \le 3 \cdot \frac{3\pi}{2}$, что дает $-\frac{3\pi}{2} \le t \le \frac{9\pi}{2}$.

Решим неравенство $\cos t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $t \in [-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.

Общее решение неравенства $\cos t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует значениям $t$, для которых $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{6}$ в пределах одного периода. Таким образом, общее решение: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, попадающие в промежуток $t \in [-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.

• При $n=0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{6}$. Этот интервал полностью входит в $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.
• При $n=1$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi$, то есть $\frac{11\pi}{6} < t < \frac{13\pi}{6}$. Этот интервал также полностью входит в $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$.
• При $n=2$: $-\frac{\pi}{6} + 4\pi < t < \frac{\pi}{6} + 4\pi$, то есть $\frac{23\pi}{6} < t < \frac{25\pi}{6}$. Этот интервал также входит в $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]$, так как $\frac{9\pi}{2} = \frac{27\pi}{6}$.

При $n=-1$ и $n=3$ получаемые интервалы лежат вне заданного промежутка для $t$.

Таким образом, решения для $t$: $t \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}) \cup (\frac{23\pi}{6}, \frac{25\pi}{6})$.

Произведем обратную замену $x = t/3$:

• Из $t \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$ следует $x \in (-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18})$.
• Из $t \in (\frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$ следует $x \in (\frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18})$.
• Из $t \in (\frac{23\pi}{6}, \frac{25\pi}{6})$ следует $x \in (\frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18})$.

Все найденные интервалы для $x$ лежат внутри исходного промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}) \cup (\frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}) \cup (\frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18})$.