Номер 35, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 35, страница 20.

Условие.

35. Найти все принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$ корни уравнения:

1) $\cos x = \frac{1}{2}$;

2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решаем уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$.

Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Поскольку $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, общее решение записывается как $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Теперь необходимо выбрать те корни, которые принадлежат заданному отрезку $[0; 3\pi]$. Для этого рассмотрим две серии решений и подставим различные целые значения $k$.
1. Первая серия решений: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
При $k=0$, получаем корень $x_1 = \frac{\pi}{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{3} \le 3\pi$.
При $k=1$, получаем корень $x_2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Этот корень также удовлетворяет условию $0 \le \frac{7\pi}{3} \le 3\pi$, поскольку $\frac{7}{3} \approx 2.33$, что меньше 3.
При $k=2$, корень $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$ уже больше $3\pi$, поэтому он не входит в отрезок.
2. Вторая серия решений: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
При $k=0$, корень $x = -\frac{\pi}{3}$ является отрицательным и не входит в отрезок.
При $k=1$, получаем корень $x_3 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{5\pi}{3} \le 3\pi$.
При $k=2$, корень $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$ больше $3\pi$ и не входит в отрезок.
Собрав все найденные корни, получаем итоговый набор.

Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.

2) Решаем уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$.
1. Из серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x_1 = \frac{\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{\pi}{4} \le 3\pi$.
При $k=1$, $x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{9\pi}{4} \le 3\pi$ (т.к. $\frac{9}{4} = 2.25 < 3$).
2. Из серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=1$, $x_3 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{7\pi}{4} \le 3\pi$.
Для других целых значений $k$ корни выходят за пределы отрезка $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.

3) Решаем уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, общее решение: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$.
1. Из серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x_1 = \frac{3\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{3\pi}{4} \le 3\pi$.
При $k=1$, $x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{11\pi}{4} \le 3\pi$ (т.к. $\frac{11}{4} = 2.75 < 3$).
2. Из серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=1$, $x_3 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{5\pi}{4} \le 3\pi$.
Для других целых значений $k$ корни выходят за пределы отрезка $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

4) Решаем уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$.
1. Из серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x_1 = \frac{2\pi}{3}$. Корень подходит: $0 \le \frac{2\pi}{3} \le 3\pi$.
При $k=1$, $x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Корень подходит: $0 \le \frac{8\pi}{3} \le 3\pi$ (т.к. $\frac{8}{3} \approx 2.67 < 3$).
2. Из серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=1$, $x_3 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Корень подходит: $0 \le \frac{4\pi}{3} \le 3\pi$.
Для других целых значений $k$ корни выходят за пределы отрезка $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.