Номер 30, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 30, страница 20.

Условие.

30. Найти значения функции $y=\cos^2 x$ при:

1) $x=-\frac{\pi}{4}$;

2) $x=\frac{\pi}{2}$;

3) $x=\frac{2\pi}{3}$;

4) $x=\frac{4\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Подставим значение $x = -\frac{\pi}{4}$ в функцию $y = \cos^2 x$.
$y = \cos^2(-\frac{\pi}{4}) = (\cos(-\frac{\pi}{4}))^2$.
Поскольку косинус — четная функция, $\cos(-a) = \cos(a)$, то $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, значение функции равно:
$y = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Подставим значение $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию $y = \cos^2 x$.
$y = \cos^2(\frac{\pi}{2}) = (\cos(\frac{\pi}{2}))^2$.
Значение косинуса для данного угла: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Следовательно, значение функции равно:
$y = 0^2 = 0$.
Ответ: $0$

3) Подставим значение $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию $y = \cos^2 x$.
$y = \cos^2(\frac{2\pi}{3}) = (\cos(\frac{2\pi}{3}))^2$.
Найдем значение $\cos(\frac{2\pi}{3})$. Используя формулу приведения $\cos(\pi - a) = -\cos(a)$, получаем:
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, значение функции равно:
$y = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

4) Подставим значение $x = \frac{4\pi}{3}$ в функцию $y = \cos^2 x$.
$y = \cos^2(\frac{4\pi}{3}) = (\cos(\frac{4\pi}{3}))^2$.
Найдем значение $\cos(\frac{4\pi}{3})$. Используя формулу приведения $\cos(\pi + a) = -\cos(a)$, получаем:
$\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, значение функции равно:
$y = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$