Номер 23, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 23, страница 14.

Условие.

23. Доказать, что функция периодическая, и найти её наименьший положительный период:

1) $y = \sin (\cos x)$;

2) $y = \cos (\sin x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sin(\cos x)$. Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$).

Сначала докажем, что функция является периодической. Внутренняя функция $g(x) = \cos x$ имеет наименьший положительный период $2\pi$. Проверим, является ли $T=2\pi$ периодом для функции $f(x)$:

$f(x+2\pi) = \sin(\cos(x+2\pi)) = \sin(\cos x) = f(x)$.

Равенство выполняется для любого $x$, следовательно, функция $f(x)$ периодическая, и $2\pi$ является её периодом.

Теперь найдем наименьший положительный период. Обозначим его $T_0$.

Проверим, является ли $T=\pi$ периодом:

$f(x+\pi) = \sin(\cos(x+\pi)) = \sin(-\cos x) = -\sin(\cos x) = -f(x)$.

Так как $f(x+\pi) = -f(x)$, а не $f(x)$ (например, при $x=0$, $f(0)=\sin(1) \neq 0$), то $\pi$ не является периодом функции.

Предположим, что $T_0$ — наименьший положительный период. Тогда по определению должно выполняться равенство $f(x+T_0) = f(x)$ для всех $x$. Возьмем $x=0$:

$f(T_0) = f(0) \implies \sin(\cos T_0) = \sin(\cos 0) = \sin(1)$.

Это равенство возможно в двух случаях:

1) $\cos T_0 = 1 + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

2) $\cos T_0 = \pi - 1 + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то в первом случае единственное решение достигается при $k=0$, откуда $\cos T_0 = 1$. Наименьшее положительное значение $T_0$, удовлетворяющее этому условию, есть $T_0 = 2\pi$. Во втором случае решений нет, так как $|\pi - 1 + 2k\pi| > 1$ для любого целого $k$.

Таким образом, наименьший возможный положительный период, который следует из условия $f(T_0) = f(0)$, равен $2\pi$. Так как мы уже показали, что $2\pi$ является периодом, то это и есть наименьший положительный период. Ответ: $2\pi$.

2) Рассмотрим функцию $y = g(x) = \cos(\sin x)$. Область определения функции — все действительные числа ($D(g) = \mathbb{R}$).

Сначала докажем, что функция является периодической. Внутренняя функция $h(x) = \sin x$ имеет наименьший положительный период $2\pi$. Проверим, является ли $T=\pi$ периодом для функции $g(x)$:

$g(x+\pi) = \cos(\sin(x+\pi)) = \cos(-\sin x)$.

Поскольку функция косинус является четной, то есть $\cos(-u) = \cos u$, получаем:

$g(x+\pi) = \cos(\sin x) = g(x)$.

Равенство выполняется для любого $x$, следовательно, функция $g(x)$ периодическая, и $\pi$ является её периодом.

Теперь найдем наименьший положительный период, обозначим его $T_0$. Мы уже знаем, что $\pi$ — это период, поэтому $0 < T_0 \le \pi$.

Предположим, что $T_0$ — наименьший положительный период. Тогда по определению должно выполняться равенство $g(x+T_0) = g(x)$ для всех $x$. Возьмем $x=0$:

$g(T_0) = g(0) \implies \cos(\sin T_0) = \cos(\sin 0) = \cos(0) = 1$.

Это равенство возможно, если $\sin T_0 = 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Так как область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, единственное решение достигается при $k=0$, откуда $\sin T_0 = 0$.

Наименьшее положительное значение $T_0$, удовлетворяющее этому условию, есть $T_0 = \pi$.

Поскольку мы показали, что $\pi$ является периодом, и в то же время любой период $T_0$ должен быть кратен $\pi$, то наименьший положительный период равен $\pi$. Ответ: $\pi$.