Номер 29, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 29, страница 19.

Условие.

29. Найти значения функции $y=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ при $x=a$, если:

1) $a=\frac{\pi}{6}$;

2) $a=\frac{\pi}{3}$;

3) $a=\frac{\pi}{2}$;

4) $a=\frac{7\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения значений функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ при заданных значениях $x=a$, мы подставляем каждое значение $a$ в функцию и вычисляем результат.

1) При $a = \frac{\pi}{6}$

Подставляем $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение:

$y = \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3})$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6:

$y = \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{6})$

Сокращаем дробь в аргументе косинуса:

$y = \cos(\frac{\pi}{2})$

Известно, что значение $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: 0

2) При $a = \frac{\pi}{3}$

Подставляем $x = \frac{\pi}{3}$ в выражение:

$y = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$y = \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) При $a = \frac{\pi}{2}$

Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение:

$y = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3})$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$y = \cos(\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$

Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$y = \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$

Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) При $a = \frac{7\pi}{6}$

Подставляем $x = \frac{7\pi}{6}$ в выражение:

$y = \cos(\frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3})$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$y = \cos(\frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{9\pi}{6})$

Сокращаем дробь в аргументе косинуса:

$y = \cos(\frac{3\pi}{2})$

Известно, что значение $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Ответ: 0