Номер 33, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 33, страница 20.

Условие.

33. Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция $y = \cos x$ возрастала, а на другом убывала:

1) $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}];$

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];$

3) $[0; \frac{3\pi}{2}];$

4) $[-\pi; \frac{\pi}{2}].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы данный отрезок можно было разбить на два отрезка, на одном из которых функция $y = \cos x$ возрастает, а на другом убывает, необходимо, чтобы внутри этого отрезка находилась точка экстремума (максимума или минимума). В этих точках функция меняет характер монотонности.

Найдем точки экстремума функции $y = \cos x$, взяв производную и приравняв ее к нулю.

$y' = (\cos x)' = -\sin x$

$-\sin x = 0 \implies \sin x = 0$

Точки экстремума: $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Функция $y = \cos x$ возрастает, когда $y' > 0$, то есть $-\sin x > 0$ или $\sin x < 0$. Это происходит на интервалах вида $(\pi + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$.

Функция $y = \cos x$ убывает, когда $y' < 0$, то есть $-\sin x < 0$ или $\sin x > 0$. Это происходит на интервалах вида $(2k\pi; \pi + 2k\pi)$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных отрезков.

1) $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Проверим, содержит ли данный отрезок точку экстремума вида $x = k\pi$.

При $k=1$, $x = \pi$. Так как $\frac{\pi}{2} < \pi < \frac{3\pi}{2}$, точка экстремума $x=\pi$ (точка минимума) лежит внутри данного отрезка.

Следовательно, мы можем разбить отрезок $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ на два отрезка в точке $x=\pi$: $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ и $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, который является частью интервала убывания $[0; \pi]$, функция $y = \cos x$ убывает.
• На отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, который является частью интервала возрастания $[\pi; 2\pi]$, функция $y = \cos x$ возрастает.

Таким образом, данный отрезок удовлетворяет условию задачи.

Ответ: отрезок $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ можно разбить на отрезок убывания $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ и отрезок возрастания $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Проверим, содержит ли данный отрезок точку экстремума вида $x = k\pi$.

При $k=0$, $x = 0$. Так как $-\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{2}$, точка экстремума $x=0$ (точка максимума) лежит внутри данного отрезка.

Следовательно, мы можем разбить отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ на два отрезка в точке $x=0$: $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ и $[0; \frac{\pi}{2}]$.

• На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, который является частью интервала возрастания $[-\pi; 0]$, функция $y = \cos x$ возрастает.
• На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, который является частью интервала убывания $[0; \pi]$, функция $y = \cos x$ убывает.

Таким образом, данный отрезок удовлетворяет условию задачи.

Ответ: отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ можно разбить на отрезок возрастания $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ и отрезок убывания $[0; \frac{\pi}{2}]$.

3) $[0; \frac{3\pi}{2}]$

Проверим, содержит ли данный отрезок внутреннюю точку экстремума вида $x = k\pi$.

При $k=1$, $x = \pi$. Так как $0 < \pi < \frac{3\pi}{2}$, точка экстремума $x=\pi$ (точка минимума) лежит внутри данного отрезка. (Заметим, что левая граница отрезка, $x=0$, также является точкой экстремума).

Мы можем разбить отрезок $[0; \frac{3\pi}{2}]$ на два отрезка в точке $x=\pi$: $[0; \pi]$ и $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

• На отрезке $[0; \pi]$ функция $y = \cos x$ убывает.
• На отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, который является частью интервала возрастания $[\pi; 2\pi]$, функция $y = \cos x$ возрастает.

Таким образом, данный отрезок удовлетворяет условию задачи.

Ответ: отрезок $[0; \frac{3\pi}{2}]$ можно разбить на отрезок убывания $[0; \pi]$ и отрезок возрастания $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

4) $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$

Проверим, содержит ли данный отрезок внутреннюю точку экстремума вида $x = k\pi$.

При $k=0$, $x = 0$. Так как $-\pi < 0 < \frac{\pi}{2}$, точка экстремума $x=0$ (точка максимума) лежит внутри данного отрезка. (Заметим, что левая граница отрезка, $x=-\pi$, также является точкой экстремума).

Мы можем разбить отрезок $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$ на два отрезка в точке $x=0$: $[-\pi; 0]$ и $[0; \frac{\pi}{2}]$.

• На отрезке $[-\pi; 0]$ функция $y = \cos x$ возрастает.
• На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, который является частью интервала убывания $[0; \pi]$, функция $y = \cos x$ убывает.

Таким образом, данный отрезок удовлетворяет условию задачи.

Ответ: отрезок $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$ можно разбить на отрезок возрастания $[-\pi; 0]$ и отрезок убывания $[0; \frac{\pi}{2}]$.