Страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

30. Найти значения функции $y=\cos^2 x$ при:

1) $x=-\frac{\pi}{4}$;

2) $x=\frac{\pi}{2}$;

3) $x=\frac{2\pi}{3}$;

4) $x=\frac{4\pi}{3}$.

1) Подставим значение $x = -\frac{\pi}{4}$ в функцию $y = \cos^2 x$.
$y = \cos^2(-\frac{\pi}{4}) = (\cos(-\frac{\pi}{4}))^2$.
Поскольку косинус — четная функция, $\cos(-a) = \cos(a)$, то $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, значение функции равно:
$y = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Подставим значение $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию $y = \cos^2 x$.
$y = \cos^2(\frac{\pi}{2}) = (\cos(\frac{\pi}{2}))^2$.
Значение косинуса для данного угла: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Следовательно, значение функции равно:
$y = 0^2 = 0$.
Ответ: $0$

3) Подставим значение $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию $y = \cos^2 x$.
$y = \cos^2(\frac{2\pi}{3}) = (\cos(\frac{2\pi}{3}))^2$.
Найдем значение $\cos(\frac{2\pi}{3})$. Используя формулу приведения $\cos(\pi - a) = -\cos(a)$, получаем:
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, значение функции равно:
$y = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

4) Подставим значение $x = \frac{4\pi}{3}$ в функцию $y = \cos^2 x$.
$y = \cos^2(\frac{4\pi}{3}) = (\cos(\frac{4\pi}{3}))^2$.
Найдем значение $\cos(\frac{4\pi}{3})$. Используя формулу приведения $\cos(\pi + a) = -\cos(a)$, получаем:
$\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, значение функции равно:
$y = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

31. Выяснить, принадлежит ли графику функции $y = \cos x$ точка с координатами:

1) $(\frac{\pi}{2}; 0)$

2) $(\frac{10\pi}{3}; \frac{1}{2})$

3) $(\frac{25\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$

4) $(-\frac{19\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Для того чтобы выяснить, принадлежит ли точка графику функции $y = \cos x$, необходимо подставить абсциссу (координату $x$) точки в уравнение функции. Если полученное значение $y$ совпадает с ординатой (координатой $y$) точки, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) Проверяем точку с координатами $(\frac{\pi}{2}; 0)$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{\pi}{2})$

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{2}$ равно $0$. Таким образом, $y = 0$.

Полученное значение $y=0$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да.

2) Проверяем точку с координатами $(\frac{10\pi}{3}; \frac{1}{2})$.

Подставляем $x = \frac{10\pi}{3}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{10\pi}{3})$

Используем периодичность функции косинуса (период $2\pi$):

$\frac{10\pi}{3} = \frac{6\pi + 4\pi}{3} = 2\pi + \frac{4\pi}{3}$

$\cos(\frac{10\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3})$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Полученное значение $y = -\frac{1}{2}$ не совпадает с ординатой точки, которая равна $\frac{1}{2}$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

Ответ: нет.

3) Проверяем точку с координатами $(\frac{25\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Подставляем $x = \frac{25\pi}{6}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{25\pi}{6})$

Упростим аргумент, используя периодичность ($2\pi = \frac{12\pi}{6}$):

$\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi + \pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$

$\cos(\frac{25\pi}{6}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Полученное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ не совпадает с ординатой точки, которая равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

Ответ: нет.

4) Проверяем точку с координатами $(-\frac{19\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Подставляем $x = -\frac{19\pi}{4}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(-\frac{19\pi}{4})$

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$:

$\cos(-\frac{19\pi}{4}) = \cos(\frac{19\pi}{4})$

Упростим аргумент, используя периодичность ($2\pi = \frac{8\pi}{4}$):

$\frac{19\pi}{4} = \frac{16\pi + 3\pi}{4} = 4\pi + \frac{3\pi}{4}$

$\cos(\frac{19\pi}{4}) = \cos(4\pi + \frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4})$

Применим формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Полученное значение $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да.

32. (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция $y = \cos x$ на отрезке:

1) $[3\pi; 4\pi];$

2) $[-2\pi; -\pi];$

3) $[2\pi; \frac{5\pi}{2}];$

4) $[-\frac{\pi}{2}; 0];$

5) $[1; 3];$

6) $[-2; -1].$

Для того чтобы выяснить, возрастает или убывает функция $y = \cos x$ на заданном отрезке, можно использовать её производную. Производная функции косинуса равна $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Функция $y = \cos x$ возрастает на тех промежутках, где её производная $y' > 0$, то есть где $-\sin x > 0$, что эквивалентно $\sin x < 0$. Это выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число. С учетом непрерывности, отрезки возрастания функции — это $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$.

Функция $y = \cos x$ убывает на тех промежутках, где её производная $y' < 0$, то есть где $-\sin x < 0$, что эквивалентно $\sin x > 0$. Это выполняется для $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число. С учетом непрерывности, отрезки убывания функции — это $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$.

Проанализируем каждый из предложенных отрезков.

1) на отрезке $[3\pi; 4\pi]$
Данный отрезок соответствует промежутку $[\pi + 2\pi \cdot 1; 2\pi + 2\pi \cdot 1]$. Это отрезок вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$ при $k=1$. На таких отрезках функция $y = \cos x$ возрастает. Это также можно проверить с помощью производной: для $x \in [3\pi; 4\pi]$ значения $\sin x \le 0$, следовательно, производная $y' = -\sin x \ge 0$.
Ответ: возрастает.

2) на отрезке $[-2\pi; -\pi]$
Данный отрезок соответствует промежутку $[2\pi \cdot (-1); \pi + 2\pi \cdot (-1)]$. Это отрезок вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$ при $k=-1$. На таких отрезках функция $y = \cos x$ убывает. Для $x \in [-2\pi; -\pi]$ значения $\sin x \ge 0$, следовательно, производная $y' = -\sin x \le 0$.
Ответ: убывает.

3) на отрезке $[2\pi; \frac{5\pi}{2}]$
Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[2\pi; 3\pi]$. Так как $2\pi < \frac{5\pi}{2} < 3\pi$, то отрезок $[2\pi; \frac{5\pi}{2}]$ является частью отрезка $[2\pi; 3\pi]$. Следовательно, на этом отрезке функция также убывает. Для $x \in [2\pi; \frac{5\pi}{2}]$ угол находится в первой четверти (с учетом периодичности), где $\sin x > 0$, а значит производная $y' = -\sin x < 0$.
Ответ: убывает.

4) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$
Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[-\pi; 0]$. Так как $-\pi < -\frac{\pi}{2} < 0$, то отрезок $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ является частью отрезка $[-\pi; 0]$. Следовательно, на этом отрезке функция также возрастает. Для $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$ угол находится в четвертой четверти, где $\sin x < 0$, а значит производная $y' = -\sin x > 0$.
Ответ: возрастает.

5) на отрезке $[1; 3]$
Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; \pi] \approx [0; 3.14]$. Поскольку $0 < 1 < 3 < \pi$, отрезок $[1; 3]$ полностью содержится внутри отрезка убывания $[0; \pi]$. Для $x \in [1; 3]$ (в радианах) угол находится в первой или второй четверти, где $\sin x > 0$, значит производная $y' = -\sin x < 0$.
Ответ: убывает.

6) на отрезке $[-2; -1]$
Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[-\pi; 0] \approx [-3.14; 0]$. Поскольку $-\pi < -2 < -1 < 0$, отрезок $[-2; -1]$ полностью содержится внутри отрезка возрастания $[-\pi; 0]$. Для $x \in [-2; -1]$ (в радианах) угол находится в третьей или четвертой четверти, где $\sin x < 0$, значит производная $y' = -\sin x > 0$.
Ответ: возрастает.

33. Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция $y = \cos x$ возрастала, а на другом убывала:

1) $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}];$

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];$

3) $[0; \frac{3\pi}{2}];$

4) $[-\pi; \frac{\pi}{2}].$

Для того чтобы данный отрезок можно было разбить на два отрезка, на одном из которых функция $y = \cos x$ возрастает, а на другом убывает, необходимо, чтобы внутри этого отрезка находилась точка экстремума (максимума или минимума). В этих точках функция меняет характер монотонности.

Найдем точки экстремума функции $y = \cos x$, взяв производную и приравняв ее к нулю.

$y' = (\cos x)' = -\sin x$

$-\sin x = 0 \implies \sin x = 0$

Точки экстремума: $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Функция $y = \cos x$ возрастает, когда $y' > 0$, то есть $-\sin x > 0$ или $\sin x < 0$. Это происходит на интервалах вида $(\pi + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$.

Функция $y = \cos x$ убывает, когда $y' < 0$, то есть $-\sin x < 0$ или $\sin x > 0$. Это происходит на интервалах вида $(2k\pi; \pi + 2k\pi)$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных отрезков.

1) $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Проверим, содержит ли данный отрезок точку экстремума вида $x = k\pi$.

При $k=1$, $x = \pi$. Так как $\frac{\pi}{2} < \pi < \frac{3\pi}{2}$, точка экстремума $x=\pi$ (точка минимума) лежит внутри данного отрезка.

Следовательно, мы можем разбить отрезок $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ на два отрезка в точке $x=\pi$: $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ и $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, который является частью интервала убывания $[0; \pi]$, функция $y = \cos x$ убывает.
• На отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, который является частью интервала возрастания $[\pi; 2\pi]$, функция $y = \cos x$ возрастает.

Таким образом, данный отрезок удовлетворяет условию задачи.

Ответ: отрезок $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ можно разбить на отрезок убывания $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ и отрезок возрастания $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Проверим, содержит ли данный отрезок точку экстремума вида $x = k\pi$.

При $k=0$, $x = 0$. Так как $-\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{2}$, точка экстремума $x=0$ (точка максимума) лежит внутри данного отрезка.

Следовательно, мы можем разбить отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ на два отрезка в точке $x=0$: $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ и $[0; \frac{\pi}{2}]$.

• На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, который является частью интервала возрастания $[-\pi; 0]$, функция $y = \cos x$ возрастает.
• На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, который является частью интервала убывания $[0; \pi]$, функция $y = \cos x$ убывает.

Таким образом, данный отрезок удовлетворяет условию задачи.

Ответ: отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ можно разбить на отрезок возрастания $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ и отрезок убывания $[0; \frac{\pi}{2}]$.

3) $[0; \frac{3\pi}{2}]$

Проверим, содержит ли данный отрезок внутреннюю точку экстремума вида $x = k\pi$.

При $k=1$, $x = \pi$. Так как $0 < \pi < \frac{3\pi}{2}$, точка экстремума $x=\pi$ (точка минимума) лежит внутри данного отрезка. (Заметим, что левая граница отрезка, $x=0$, также является точкой экстремума).

Мы можем разбить отрезок $[0; \frac{3\pi}{2}]$ на два отрезка в точке $x=\pi$: $[0; \pi]$ и $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

• На отрезке $[0; \pi]$ функция $y = \cos x$ убывает.
• На отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, который является частью интервала возрастания $[\pi; 2\pi]$, функция $y = \cos x$ возрастает.

Таким образом, данный отрезок удовлетворяет условию задачи.

Ответ: отрезок $[0; \frac{3\pi}{2}]$ можно разбить на отрезок убывания $[0; \pi]$ и отрезок возрастания $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

4) $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$

Проверим, содержит ли данный отрезок внутреннюю точку экстремума вида $x = k\pi$.

При $k=0$, $x = 0$. Так как $-\pi < 0 < \frac{\pi}{2}$, точка экстремума $x=0$ (точка максимума) лежит внутри данного отрезка. (Заметим, что левая граница отрезка, $x=-\pi$, также является точкой экстремума).

Мы можем разбить отрезок $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$ на два отрезка в точке $x=0$: $[-\pi; 0]$ и $[0; \frac{\pi}{2}]$.

• На отрезке $[-\pi; 0]$ функция $y = \cos x$ возрастает.
• На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, который является частью интервала убывания $[0; \pi]$, функция $y = \cos x$ убывает.

Таким образом, данный отрезок удовлетворяет условию задачи.

Ответ: отрезок $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$ можно разбить на отрезок возрастания $[-\pi; 0]$ и отрезок убывания $[0; \frac{\pi}{2}]$.

34. С помощью свойства возрастания или убывания функции
$y = \cos x$ сравнить числа:

1) $\cos \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{8\pi}{9}$;

2) $\cos \frac{8\pi}{7}$ и $\cos \frac{10\pi}{7}$;

3) $\cos \left(-\frac{6\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{\pi}{8}\right)$;

4) $\cos \left(-\frac{8\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{9\pi}{7}\right)$;

5) $\cos 1$ и $\cos 3$;

6) $\cos 4$ и $\cos 5$.

Для сравнения значений функции $y = \cos x$ воспользуемся ее свойством монотонности. Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; \pi]$ и возрастает на отрезке $[\pi; 2\pi]$. Это означает, что:

• Если $0 \le x_1 < x_2 \le \pi$, то $\cos x_1 > \cos x_2$.
• Если $\pi \le x_1 < x_2 \le 2\pi$, то $\cos x_1 < \cos x_2$.

Также будем использовать свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos x$.

1) Сравнить $\cos \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{8\pi}{9}$.

Оба аргумента $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{8\pi}{9}$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos x$ убывает. Сравним аргументы. Приведем дроби к общему знаменателю $63$:
$\frac{\pi}{7} = \frac{9\pi}{63}$
$\frac{8\pi}{9} = \frac{56\pi}{63}$
Так как $\frac{9\pi}{63} < \frac{56\pi}{63}$, то $\frac{\pi}{7} < \frac{8\pi}{9}$.
Поскольку на отрезке $[0; \pi]$ функция косинус убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{8\pi}{9}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{8\pi}{9}$.

2) Сравнить $\cos \frac{8\pi}{7}$ и $\cos \frac{10\pi}{7}$.

Аргументы $\frac{8\pi}{7}$ и $\frac{10\pi}{7}$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$, так как $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{10\pi}{7} < 2\pi$. На этом промежутке функция $y = \cos x$ возрастает.
Сравним аргументы: $\frac{8\pi}{7} < \frac{10\pi}{7}$.
Поскольку на отрезке $[\pi; 2\pi]$ функция косинус возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7}$.
Ответ: $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7}$.

3) Сравнить $\cos (-\frac{6\pi}{7})$ и $\cos (-\frac{\pi}{8})$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-x) = \cos x$. Поэтому:
$\cos (-\frac{6\pi}{7}) = \cos \frac{6\pi}{7}$
$\cos (-\frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{8}$
Теперь сравним $\cos \frac{6\pi}{7}$ и $\cos \frac{\pi}{8}$. Оба аргумента принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y=\cos x$ убывает.
Сравним аргументы: $\frac{\pi}{8} < \frac{6\pi}{7}$ (так как $1/8 < 6/7$, или $7 < 48$).
Так как функция убывает, то $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{6\pi}{7}$.
Следовательно, $\cos (-\frac{\pi}{8}) > \cos (-\frac{6\pi}{7})$.
Ответ: $\cos (-\frac{6\pi}{7}) < \cos (-\frac{\pi}{8})$.

4) Сравнить $\cos (-\frac{8\pi}{7})$ и $\cos (-\frac{9\pi}{7})$.

Используем четность функции косинуса:
$\cos (-\frac{8\pi}{7}) = \cos \frac{8\pi}{7}$
$\cos (-\frac{9\pi}{7}) = \cos \frac{9\pi}{7}$
Сравним $\cos \frac{8\pi}{7}$ и $\cos \frac{9\pi}{7}$. Оба аргумента принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$, на котором функция $y=\cos x$ возрастает.
Сравним аргументы: $\frac{8\pi}{7} < \frac{9\pi}{7}$.
Так как функция возрастает, то $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{9\pi}{7}$.
Следовательно, $\cos (-\frac{8\pi}{7}) < \cos (-\frac{9\pi}{7})$.
Ответ: $\cos (-\frac{8\pi}{7}) < \cos (-\frac{9\pi}{7})$.

5) Сравнить $\cos 1$ и $\cos 3$.

Значения аргументов 1 и 3 (в радианах) находятся в промежутке $[0; \pi]$, так как $\pi \approx 3.14$.
На этом промежутке функция $y = \cos x$ убывает.
Сравним аргументы: $1 < 3$.
Поскольку функция убывает, из $1 < 3$ следует, что $\cos 1 > \cos 3$.
Ответ: $\cos 1 > \cos 3$.

6) Сравнить $\cos 4$ и $\cos 5$.

Значения аргументов 4 и 5 (в радианах) находятся в промежутке $[\pi; 2\pi]$, так как $\pi \approx 3.14$ и $2\pi \approx 6.28$.
На этом промежутке функция $y = \cos x$ возрастает.
Сравним аргументы: $4 < 5$.
Поскольку функция возрастает, из $4 < 5$ следует, что $\cos 4 < \cos 5$.
Ответ: $\cos 4 < \cos 5$.

35. Найти все принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$ корни уравнения:

1) $\cos x = \frac{1}{2}$;

2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $\cos x = -\frac{1}{2}$.

1) Решаем уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$.

Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Поскольку $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, общее решение записывается как $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Теперь необходимо выбрать те корни, которые принадлежат заданному отрезку $[0; 3\pi]$. Для этого рассмотрим две серии решений и подставим различные целые значения $k$.
1. Первая серия решений: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
При $k=0$, получаем корень $x_1 = \frac{\pi}{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{3} \le 3\pi$.
При $k=1$, получаем корень $x_2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Этот корень также удовлетворяет условию $0 \le \frac{7\pi}{3} \le 3\pi$, поскольку $\frac{7}{3} \approx 2.33$, что меньше 3.
При $k=2$, корень $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$ уже больше $3\pi$, поэтому он не входит в отрезок.
2. Вторая серия решений: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
При $k=0$, корень $x = -\frac{\pi}{3}$ является отрицательным и не входит в отрезок.
При $k=1$, получаем корень $x_3 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{5\pi}{3} \le 3\pi$.
При $k=2$, корень $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$ больше $3\pi$ и не входит в отрезок.
Собрав все найденные корни, получаем итоговый набор.

Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.

2) Решаем уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$.
1. Из серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x_1 = \frac{\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{\pi}{4} \le 3\pi$.
При $k=1$, $x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{9\pi}{4} \le 3\pi$ (т.к. $\frac{9}{4} = 2.25 < 3$).
2. Из серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=1$, $x_3 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{7\pi}{4} \le 3\pi$.
Для других целых значений $k$ корни выходят за пределы отрезка $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.

3) Решаем уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, общее решение: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$.
1. Из серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x_1 = \frac{3\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{3\pi}{4} \le 3\pi$.
При $k=1$, $x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{11\pi}{4} \le 3\pi$ (т.к. $\frac{11}{4} = 2.75 < 3$).
2. Из серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=1$, $x_3 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Корень подходит: $0 \le \frac{5\pi}{4} \le 3\pi$.
Для других целых значений $k$ корни выходят за пределы отрезка $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

4) Решаем уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$.
1. Из серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x_1 = \frac{2\pi}{3}$. Корень подходит: $0 \le \frac{2\pi}{3} \le 3\pi$.
При $k=1$, $x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Корень подходит: $0 \le \frac{8\pi}{3} \le 3\pi$ (т.к. $\frac{8}{3} \approx 2.67 < 3$).
2. Из серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=1$, $x_3 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Корень подходит: $0 \le \frac{4\pi}{3} \le 3\pi$.
Для других целых значений $k$ корни выходят за пределы отрезка $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

36. Найти все принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$ решения неравенства:

1) $\cos x \ge \frac{1}{2}$;

2) $\cos x \ge -\frac{1}{2}$;

3) $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Требуется найти все решения неравенства $\cos x \ge \frac{1}{2}$ на отрезке $[0, 3\pi]$.
Сначала найдем общее решение этого неравенства. Решением уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ являются значения $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. На единичной окружности неравенству $\cos x \ge \frac{1}{2}$ соответствуют точки, абсцисса которых больше или равна $\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$.
Следовательно, общее решение неравенства можно записать в виде: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем из этого общего решения те, которые принадлежат отрезку $[0, 3\pi]$, перебирая значения $k$:

• При $k=0$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$. Пересечение этого отрезка с $[0, 3\pi]$ дает нам промежуток $[0, \frac{\pi}{3}]$.
• При $k=1$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi, \frac{\pi}{3} + 2\pi]$, что равносильно $[\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]$. Этот отрезок полностью содержится в $[0, 3\pi]$, так как $3\pi = \frac{9\pi}{3}$.
• При $k=2$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{3} + 4\pi, \frac{\pi}{3} + 4\pi] = [\frac{11\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}]$. Этот отрезок находится за пределами $[0, 3\pi]$.

Объединив найденные промежутки, получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]$.

2) Требуется найти все решения неравенства $\cos x \ge -\frac{1}{2}$ на отрезке $[0, 3\pi]$.
Общее решение. Уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$ имеет решения $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Неравенству $\cos x \ge -\frac{1}{2}$ на единичной окружности соответствуют точки с абсциссой не меньше $-\frac{1}{2}$. Это дуга от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.
Общее решение неравенства: $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие отрезку $[0, 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем отрезок $[-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$. Пересечение с $[0, 3\pi]$ дает $[0, \frac{2\pi}{3}]$.
• При $k=1$: получаем отрезок $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi, \frac{2\pi}{3} + 2\pi] = [\frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}]$. Этот отрезок полностью содержится в $[0, 3\pi]$.
• При $k=2$: получаем отрезок $[-\frac{2\pi}{3} + 4\pi, \frac{2\pi}{3} + 4\pi] = [\frac{10\pi}{3}, \frac{14\pi}{3}]$, что выходит за пределы отрезка $[0, 3\pi]$.

Объединяем найденные решения.
Ответ: $x \in [0, \frac{2\pi}{3}] \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}]$.

3) Требуется найти все решения неравенства $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0, 3\pi]$.
Общее решение. Уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет решения $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Неравенству $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности с абсциссой меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. На одном обороте это дуга от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$.
Общее решение неравенства: $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие отрезку $[0, 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем интервал $(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$. Он полностью лежит в отрезке $[0, 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем интервал $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi, \frac{5\pi}{4} + 2\pi) = (\frac{11\pi}{4}, \frac{13\pi}{4})$. Найдем пересечение этого интервала с $[0, 3\pi]$. Так как $3\pi = \frac{12\pi}{4}$ и $\cos(3\pi) = -1 < -\frac{\sqrt{2}}{2}$, точка $x=3\pi$ является решением. Таким образом, пересечение дает полуинтервал $(\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.

При других значениях $k$ решений в заданном отрезке нет.
Ответ: $x \in (\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.

4) Требуется найти все решения неравенства $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0, 3\pi]$.
Общее решение. Решения уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ есть $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Неравенству $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности с абсциссой меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. На одном обороте это дуга от $\frac{\pi}{6}$ до $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Общее решение неравенства: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие отрезку $[0, 3\pi]$:

• При $k=0$: получаем интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$. Он полностью лежит в отрезке $[0, 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем интервал $(\frac{\pi}{6} + 2\pi, \frac{11\pi}{6} + 2\pi) = (\frac{13\pi}{6}, \frac{23\pi}{6})$. Найдем пересечение с $[0, 3\pi]$. Так как $3\pi = \frac{18\pi}{6}$ и $\cos(3\pi)=-1 < \frac{\sqrt{3}}{2}$, точка $x=3\pi$ входит в решение. Пересечение дает полуинтервал $(\frac{13\pi}{6}, 3\pi]$.

При других значениях $k$ решений в заданном отрезке нет.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}) \cup (\frac{13\pi}{6}, 3\pi]$.

37. Построив график функции $y=f(x)$, найти: а) область определения функции; б) множество значений; в) промежутки возрастания:

1) $f(x) = \begin{cases} \cos x, \text{ если } 0 \le x \le 2\pi, \\ x^2, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} \cos x, \text{ если } -3\pi \le x < -\frac{\pi}{2}, \\ \frac{2x}{\pi} + 1, \text{ если } x \ge -\frac{\pi}{2}. \end{cases}$

1)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } 0 \le x \le 2\pi \\ x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Для решения задачи сначала мысленно построим график этой функции. График состоит из двух частей. При $x < 0$ график представляет собой левую ветвь параболы $y=x^2$. Эта ветвь начинается от $+\infty$ при $x \to -\infty$ и подходит к точке $(0, 0)$, которая не включается в эту часть графика (так называемая "выколотая" точка). При $0 \le x \le 2\pi$ график является стандартной волной косинуса на отрезке от $0$ до $2\pi$. Он начинается в точке $(0, 1)$, опускается до минимума в точке $(\pi, -1)$ и поднимается до максимума в точке $(2\pi, 1)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0$, а $f(0)=1$.

а) область определения функции

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений $x$, для которых функция определена. Согласно условию, функция определена для всех $x < 0$ и для всех $x$ в отрезке $[0, 2\pi]$. Объединяя эти два множества, получаем: $D(f) = (-\infty, 0) \cup [0, 2\pi] = (-\infty, 2\pi]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 2\pi]$.

б) множество значений

Множество значений $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $f(x)$. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $f(x) = x^2$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$. На отрезке $[0, 2\pi]$ функция $f(x) = \cos x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$. Общее множество значений функции является объединением этих двух множеств: $E(f) = (0, +\infty) \cup [-1, 1] = [-1, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.

в) промежутки возрастания

Проанализируем монотонность функции, исходя из ее графика. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $f(x) = x^2$ убывает. На отрезке $[0, 2\pi]$ функция $f(x) = \cos x$ сначала убывает на $[0, \pi]$, а затем возрастает на $[\pi, 2\pi]$. Таким образом, единственным промежутком возрастания для всей функции $f(x)$ является отрезок $[\pi, 2\pi]$.

Ответ: $[\pi, 2\pi]$.

2)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } -3\pi \le x < -\frac{\pi}{2} \\ \frac{2x}{\pi} + 1, & \text{если } x \ge -\frac{\pi}{2} \end{cases}$.

Построим график этой функции. При $-3\pi \le x < -\frac{\pi}{2}$ график является частью косинусоиды $y=\cos x$. Он начинается в точке $(-3\pi, -1)$ и заканчивается, приближаясь к точке $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. При $x \ge -\frac{\pi}{2}$ график является прямой линией $y = \frac{2x}{\pi} + 1$. Эта прямая начинается в точке $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и идет вверх вправо, так как ее угловой коэффициент $\frac{2}{\pi}$ положителен. В точке "стыка" $x = -\frac{\pi}{2}$ предел слева $\lim_{x\to -\pi/2^-} \cos x = 0$, и значение функции $f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{2(-\pi/2)}{\pi} + 1 = 0$. Следовательно, функция непрерывна в этой точке.

а) область определения функции

Область определения функции $D(f)$ — это объединение промежутков, на которых задана функция: $[-3\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup [-\frac{\pi}{2}, +\infty)$. Таким образом, $D(f) = [-3\pi, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [-3\pi, +\infty)$.

б) множество значений

Найдем множество значений $E(f)$ для каждой части функции. На промежутке $[-3\pi, -\frac{\pi}{2})$ функция $f(x) = \cos x$ проходит через полтора периода. Максимальное значение равно 1 (например, в точке $x=-2\pi$), а минимальное -1 (в точках $x=-3\pi$ и $x=-\pi$). Таким образом, множество значений на этом промежутке — $[-1, 1]$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, +\infty)$ функция $f(x) = \frac{2x}{\pi} + 1$ является возрастающей прямой. Ее наименьшее значение достигается в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ и равно $f(-\frac{\pi}{2}) = 0$. При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$. Множество значений на этом промежутке: $[0, +\infty)$. Общее множество значений функции — это объединение множеств $[-1, 1]$ и $[0, +\infty)$, что дает $E(f) = [-1, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.

в) промежутки возрастания

Проанализируем монотонность функции на каждом участке. На промежутке $[-3\pi, -\frac{\pi}{2})$ функция $f(x) = \cos x$. Она возрастает на промежутках вида $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$. В нашем случае это $[-3\pi, -2\pi]$ и $[-\pi, -\frac{\pi}{2})$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, +\infty)$ функция $f(x) = \frac{2x}{\pi} + 1$ возрастает, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом. Объединяем найденные промежутки возрастания. Так как функция непрерывна в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ и возрастает как до, так и после этой точки, мы можем объединить промежутки $[-\pi, -\frac{\pi}{2})$ и $[-\frac{\pi}{2}, +\infty)$ в один сплошной промежуток $[-\pi, +\infty)$. В итоге получаем два промежутка возрастания.

Ответ: $[-3\pi, -2\pi]$ и $[-\pi, +\infty)$.

38. Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа:

1) $cos \frac{\pi}{5}$ и $sin \frac{\pi}{5}$;
2) $sin \frac{\pi}{7}$ и $cos \frac{\pi}{7}$;
3) $cos \frac{3\pi}{8}$ и $sin \frac{5\pi}{8}$;
4) $sin \frac{3\pi}{5}$ и $cos \frac{\pi}{5}$;
5) $cos \frac{\pi}{6}$ и $sin \frac{5\pi}{14}$;
6) $cos \frac{\pi}{8}$ и $sin \frac{3\pi}{10}$.

1) Сравним $\cos \frac{\pi}{5}$ и $\sin \frac{\pi}{5}$.
Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы выразить синус через косинус.
$\sin \frac{\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \cos \frac{3\pi}{10}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\cos \frac{\pi}{5}$ и $\cos \frac{3\pi}{10}$.
Аргументы $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{10}$ находятся в первой четверти, то есть в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.
Сравним сами углы: $\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10}$. Так как $\frac{2\pi}{10} < \frac{3\pi}{10}$, то $\frac{\pi}{5} < \frac{3\pi}{10}$.
Функция $y = \cos x$ на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Поэтому, $\cos \frac{\pi}{5} > \cos \frac{3\pi}{10}$.
Следовательно, $\cos \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{5}$.

2) Сравним $\sin \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi - 2\pi}{14}) = \cos \frac{5\pi}{14}$.
Теперь сравним $\cos \frac{5\pi}{14}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$.
Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{14}$.
Углы $\frac{5\pi}{14}$ и $\frac{2\pi}{14}$ находятся в первой четверти.
Сравним углы: $\frac{5\pi}{14} > \frac{2\pi}{14}$.
Так как функция $y = \cos x$ убывает на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, то из $\frac{5\pi}{14} > \frac{2\pi}{14}$ следует, что $\cos \frac{5\pi}{14} < \cos \frac{2\pi}{14}$.
Следовательно, $\sin \frac{\pi}{7} < \cos \frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\sin \frac{\pi}{7} < \cos \frac{\pi}{7}$.

3) Сравним $\cos \frac{3\pi}{8}$ и $\sin \frac{5\pi}{8}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{5\pi}{8} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{8}) = \cos(\frac{4\pi - 5\pi}{8}) = \cos(-\frac{\pi}{8})$.
Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$), то $\cos(-\frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{8}$.
Теперь сравним $\cos \frac{3\pi}{8}$ и $\cos \frac{\pi}{8}$.
Оба угла, $\frac{3\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{8}$, находятся в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$).
Так как $\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{8}$ и функция $y = \cos x$ убывает на $[0, \frac{\pi}{2}]$, то $\cos \frac{3\pi}{8} < \cos \frac{\pi}{8}$.
Следовательно, $\cos \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8}$.
Ответ: $\cos \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8}$.

4) Сравним $\sin \frac{3\pi}{5}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{3\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}) = \cos(\frac{5\pi - 6\pi}{10}) = \cos(-\frac{\pi}{10})$.
Используя четность косинуса, получаем $\cos(-\frac{\pi}{10}) = \cos \frac{\pi}{10}$.
Теперь сравним $\cos \frac{\pi}{10}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$.
Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{2\pi}{10}$, находятся в первой четверти.
Сравним углы: $\frac{\pi}{10} < \frac{2\pi}{10}$.
Так как функция $y = \cos x$ убывает на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, то из $\frac{\pi}{10} < \frac{2\pi}{10}$ следует, что $\cos \frac{\pi}{10} > \cos \frac{2\pi}{10}$.
Следовательно, $\sin \frac{3\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\sin \frac{3\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{5}$.

5) Сравним $\cos \frac{\pi}{6}$ и $\sin \frac{5\pi}{14}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{5\pi}{14} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \cos(\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \cos \frac{2\pi}{14} = \cos \frac{\pi}{7}$.
Теперь сравним $\cos \frac{\pi}{6}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{7}$, находятся в первой четверти.
Сравним углы: так как $6 < 7$, то $\frac{1}{6} > \frac{1}{7}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{6} > \frac{\pi}{7}$.
Поскольку функция $y = \cos x$ убывает на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, то из $\frac{\pi}{6} > \frac{\pi}{7}$ следует, что $\cos \frac{\pi}{6} < \cos \frac{\pi}{7}$.
Следовательно, $\cos \frac{\pi}{6} < \sin \frac{5\pi}{14}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{6} < \sin \frac{5\pi}{14}$.

6) Сравним $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\sin \frac{3\pi}{10}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{3\pi}{10} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \cos(\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \cos \frac{2\pi}{10} = \cos \frac{\pi}{5}$.
Теперь сравним $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{5}$, находятся в первой четверти.
Сравним углы: так как $8 > 5$, то $\frac{1}{8} < \frac{1}{5}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5}$.
Поскольку функция $y = \cos x$ убывает на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, то из $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5}$ следует, что $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{\pi}{5}$.
Следовательно, $\cos \frac{\pi}{8} > \sin \frac{3\pi}{10}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{8} > \sin \frac{3\pi}{10}$.