Страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

49. В одной системе координат построить графики функций $y = \cos x$ и $y = \frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2x}}$.

Для того чтобы построить графики функций $y = \cos x$ и $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ в одной системе координат, необходимо сначала проанализировать и, если возможно, упростить вторую функцию, а затем сравнить обе функции.

1. Анализ и упрощение функции $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$

Сначала найдем область определения данной функции. В выражении присутствует тангенс, $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, который определен только тогда, когда $\cos x \neq 0$. Это условие нарушается в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область определения функции (ОДЗ): $x \in \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.

Далее, упростим само выражение. Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус:
$1 + \tg^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$
Подставим это тождество в нашу функцию:
$y = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}}}$
При извлечении квадратного корня из знаменателя важно помнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно:
$\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\cos^2 x}} = \frac{1}{|\cos x|}$
Теперь подставим это обратно в выражение для $y$:
$y = \frac{1}{\frac{1}{|\cos x|}} = |\cos x|$

Итак, функция $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ эквивалентна функции $y = |\cos x|$ при условии, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Построение графиков

Теперь мы можем построить оба графика в одной системе координат.
График $y = \cos x$:
Это стандартная косинусоида — периодическая функция с периодом $2\pi$, область значений которой $[-1; 1]$. График проходит через точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$ и так далее.

График $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ (то есть $y=|\cos x|$ с ограничениями):
График функции $y = |\cos x|$ получается из графика $y = \cos x$ следующим образом:
• Части графика $y = \cos x$, расположенные выше или на оси абсцисс (где $\cos x \ge 0$), остаются без изменений.
• Части графика $y = \cos x$, расположенные ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), симметрично отражаются относительно оси абсцисс.
В результате получается график, который никогда не опускается ниже оси Ox. Его область значений $[0; 1]$.
Однако, из-за области определения исходной функции, мы должны исключить точки, где $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. В этих точках значение $|\cos x|$ равно 0. Следовательно, на графике $y = |\cos x|$ эти точки $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$ должны быть "выколоты" (изображены в виде пустых кружков).

3. Итоговое сравнение в одной системе координат

• На интервалах, где $\cos x > 0$ (например, $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$), $|\cos x| = \cos x$. На этих участках графики обеих функций полностью совпадают.
• На интервалах, где $\cos x < 0$ (например, $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$), $|\cos x| = -\cos x$. На этих участках график $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ является зеркальным отражением графика $y = \cos x$ относительно оси Ox.
• В точках, где $\cos x = 0$ ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$), график $y = \cos x$ пересекает ось Ox, а график $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ имеет разрыв (выколотую точку).

Ответ: График функции $y=\cos x$ — это стандартная косинусоида. График функции $y = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}$ совпадает с графиком $y = |\cos x|$, но имеет выколотые точки в местах пересечения с осью абсцисс, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ для всех целых $n$. На промежутках, где косинус положителен, графики совпадают; где косинус отрицателен, второй график является отражением первого относительно оси Ox.

50. Решить неравенство:

1) $ \cos^2 x > \frac{3}{4}; $

2) $ 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 > 0; $

3) $ \sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\cos x. $

1) Исходное неравенство: $ \cos^2 x > \frac{3}{4} $.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$ \cos x > \sqrt{\frac{3}{4}} \quad $ или $ \quad \cos x < -\sqrt{\frac{3}{4}} $

$ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} \quad $ или $ \quad \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Решим каждое неравенство по отдельности, используя единичную окружность.

Для $ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} $:

На оси косинусов (оси Ox) находим точку $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ и отмечаем дугу окружности, где абсциссы точек больше этого числа. Это соответствует углам в интервале $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) $. С учетом периодичности функции косинус, решения имеют вид:

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.

Для $ \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $:

Аналогично, находим на оси косинусов точку $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и отмечаем дугу, где абсциссы точек меньше этого числа. Это соответствует углам в интервале $ (\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}) $. С учетом периодичности, решения имеют вид:

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.

Объединяя эти два множества решений, получаем итоговый ответ. Эти два интервала можно также записать в более компактной форме: $ -\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \pi k), k \in Z $.

2) Исходное неравенство: $ 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 > 0 $.

Это квадратное неравенство относительно $ \cos x $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $, при этом необходимо учесть, что область значений косинуса $ -1 \le t \le 1 $.

Получаем и решаем неравенство: $ 2t^2 - 3t - 2 > 0 $.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 2t^2 - 3t - 2 = 0 $.

Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $.

Корни: $ t_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} $ и $ t_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2 $.

Графиком функции $ y = 2t^2 - 3t - 2 $ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $ 2t^2 - 3t - 2 > 0 $ выполняется, когда $ t $ находится вне интервала между корнями, то есть при $ t < -\frac{1}{2} $ или $ t > 2 $.

Выполняем обратную замену:

$ \cos x < -\frac{1}{2} \quad $ или $ \quad \cos x > 2 $.

Второе неравенство $ \cos x > 2 $ не имеет решений, так как максимальное значение функции косинус равно 1.

Остается решить неравенство $ \cos x < -\frac{1}{2} $.

На единичной окружности находим на оси косинусов точку $ -\frac{1}{2} $. Значения косинуса меньше этого числа соответствуют углам в интервале $ (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}) $.

С учетом периодичности, получаем окончательное решение:

$ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n), n \in Z $.

3) Исходное неравенство: $ \sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\cos x $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ \frac{7 - \cos 4x}{2} \ge 0 $. Так как $ -1 \le \cos 4x \le 1 $, то $ 6 \le 7 - \cos 4x \le 8 $, следовательно, выражение $ 7 - \cos 4x $ всегда положительно. Таким образом, ОДЗ: $ x \in R $.

Левая часть неравенства (арифметический корень четвертой степени) всегда неотрицательна. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: Правая часть отрицательна.

$ -2\cos x < 0 \implies \cos x > 0 $.

В этом случае неравенство вида $ (\text{неотрицательное число}) > (\text{отрицательное число}) $ всегда является истинным. Следовательно, все значения $ x $, для которых $ \cos x > 0 $, являются решениями неравенства.

Решением неравенства $ \cos x > 0 $ является множество интервалов: $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.

Случай 2: Правая часть неотрицательна.

$ -2\cos x \ge 0 \implies \cos x \le 0 $.

В этом случае обе части исходного неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в четвертую степень, сохраняя знак неравенства:

$ \left(\sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}}\right)^4 > (-2\cos x)^4 $

$ \frac{7 - \cos 4x}{2} > 16\cos^4 x $

Используем формулу косинуса четверного угла через косинус одинарного угла: $ \cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1 $.

Подставим это выражение в неравенство:

$ \frac{7 - (8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1)}{2} > 16\cos^4 x $

$ \frac{6 + 8\cos^2 x - 8\cos^4 x}{2} > 16\cos^4 x $

$ 3 + 4\cos^2 x - 4\cos^4 x > 16\cos^4 x $

$ 20\cos^4 x - 4\cos^2 x - 3 < 0 $

Сделаем замену $ y = \cos^2 x $. Получаем $ 20y^2 - 4y - 3 < 0 $.

Корни уравнения $ 20y^2 - 4y - 3 = 0 $: $ y_1 = -\frac{3}{10} $ и $ y_2 = \frac{1}{2} $.

Решением неравенства для $y$ является интервал $ -\frac{3}{10} < y < \frac{1}{2} $.

Возвращаясь к замене: $ -\frac{3}{10} < \cos^2 x < \frac{1}{2} $. Учитывая, что $ \cos^2 x \ge 0 $, получаем $ 0 \le \cos^2 x < \frac{1}{2} $.

Это равносильно $ |\cos x| < \frac{1}{\sqrt{2}} $, или $ -\frac{1}{\sqrt{2}} < \cos x < \frac{1}{\sqrt{2}} $.

Решение для второго случая — это пересечение условий $ \cos x \le 0 $ и $ -\frac{1}{\sqrt{2}} < \cos x < \frac{1}{\sqrt{2}} $, что дает $ -\frac{1}{\sqrt{2}} < \cos x \le 0 $.

Объединение решений:

Итоговое решение является объединением решений из двух случаев:

$ \{x | \cos x > 0\} \cup \{x | -\frac{1}{\sqrt{2}} < \cos x \le 0\} $.

Это объединение дает одно простое неравенство: $ \cos x > -\frac{1}{\sqrt{2}} $ или $ \cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решим это неравенство. На единичной окружности это соответствует дуге от $ -\frac{3\pi}{4} $ до $ \frac{3\pi}{4} $.

С учетом периодичности, получаем: $ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n), n \in Z $.