Страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения 28, 32—35 выполнить с помощью графика функции $y = \cos x$.

28. (Устно.) Выяснить, при каких значениях $x$, принадлежащих отрезку $[0; 3\pi]$, функция $y = \cos x$ принимает:

1) значение, равное 0, 1, –1;

2) положительные значения;

3) отрицательные значения.

Для решения задачи воспользуемся графиком функции $y = \cos x$ на отрезке $[0; 3\pi]$. График представляет собой косинусоиду, которая на данном отрезке начинается в точке $(0; 1)$, достигает своего первого минимума в точке $(\pi; -1)$, затем максимума в $(2\pi; 1)$ и заканчивается в точке минимума $(3\pi; -1)$.

1) Выясним, при каких значениях $x$ функция принимает значения, равные 0, 1, -1.

• Значение, равное 0 ($y = \cos x = 0$), функция принимает в точках пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$). На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$ и $x = \frac{5\pi}{2}$.

• Значение, равное 1 ($y = \cos x = 1$), функция принимает в точках максимума. На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит в точках $x = 0$ и $x = 2\pi$.

• Значение, равное -1 ($y = \cos x = -1$), функция принимает в точках минимума. На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит в точках $x = \pi$ и $x = 3\pi$.

Ответ: $\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$; $\cos x = 1$ при $x = 0, 2\pi$; $\cos x = -1$ при $x = \pi, 3\pi$.

2) Выясним, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения.

Положительные значения ($\cos x > 0$) функция принимает на тех интервалах, где ее график расположен выше оси абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это следующие интервалы: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ и от $\frac{3\pi}{2}$ до $\frac{5\pi}{2}$. Включая точку $x=0$, так как $\cos(0) = 1 > 0$, и исключая точки, где косинус равен нулю.

Ответ: $\cos x > 0$ при $x \in [0; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2})$.

3) Выясним, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения.

Отрицательные значения ($\cos x < 0$) функция принимает на тех интервалах, где ее график расположен ниже оси абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это следующие интервалы: от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ и от $\frac{5\pi}{2}$ до $3\pi$. Включая точку $x=3\pi$, так как $\cos(3\pi) = -1 < 0$, и исключая точки, где косинус равен нулю.

Ответ: $\cos x < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{2}; 3\pi]$.

29. Найти значения функции $y=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ при $x=a$, если:

1) $a=\frac{\pi}{6}$;

2) $a=\frac{\pi}{3}$;

3) $a=\frac{\pi}{2}$;

4) $a=\frac{7\pi}{6}$.

Для нахождения значений функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ при заданных значениях $x=a$, мы подставляем каждое значение $a$ в функцию и вычисляем результат.

1) При $a = \frac{\pi}{6}$

Подставляем $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение:

$y = \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3})$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6:

$y = \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{6})$

Сокращаем дробь в аргументе косинуса:

$y = \cos(\frac{\pi}{2})$

Известно, что значение $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: 0

2) При $a = \frac{\pi}{3}$

Подставляем $x = \frac{\pi}{3}$ в выражение:

$y = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$y = \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) При $a = \frac{\pi}{2}$

Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение:

$y = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3})$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$y = \cos(\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$

Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$y = \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$

Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) При $a = \frac{7\pi}{6}$

Подставляем $x = \frac{7\pi}{6}$ в выражение:

$y = \cos(\frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3})$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$y = \cos(\frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{9\pi}{6})$

Сокращаем дробь в аргументе косинуса:

$y = \cos(\frac{3\pi}{2})$

Известно, что значение $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Ответ: 0