Страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

12. 1) $y = \cos 3x;$

2) $y = 2\sin 4x;$

3) $y = \frac{x}{2}\text{tg}^2 x;$

4) $y = x\cos \frac{x}{2};$

5) $y = x\sin x;$

6) $y = 2\sin^2 x.$

1) Для нахождения производной функции $y = \cos(3x)$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть внутренняя функция $u(x) = 3x$, а внешняя функция $f(u) = \cos(u)$.

Производная внешней функции по ее аргументу: $f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.

Производная внутренней функции по $x$: $u'(x) = (3x)' = 3$.

По цепному правилу, производная исходной функции равна произведению производной внешней функции (взятой по внутренней функции) на производную внутренней функции: $y' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Подставляя наши выражения, получаем:

$y' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.

Ответ: $y' = -3\sin(3x)$.

2) Для функции $y = 2\sin(4x)$ мы используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и цепное правило. Константу 2 можно вынести за знак производной.

$y' = (2\sin(4x))' = 2 \cdot (\sin(4x))'$.

Далее, для нахождения производной $\sin(4x)$ применяем цепное правило. Пусть $u(x) = 4x$. Тогда $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

$(\sin(4x))' = \cos(4x) \cdot (4x)' = \cos(4x) \cdot 4 = 4\cos(4x)$.

Собираем все вместе:

$y' = 2 \cdot 4\cos(4x) = 8\cos(4x)$.

Ответ: $y' = 8\cos(4x)$.

3) Функция $y = \frac{x}{2}\tg^2x$ является произведением двух функций: $u(x) = \frac{x}{2}$ и $v(x) = \tg^2x$. Применяем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные каждой функции:

$u'(x) = (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.

Для нахождения $v'(x)$ используем цепное правило. Функция $v(x) = (\tg x)^2$.

$v'(x) = 2\tg x \cdot (\tg x)' = 2\tg x \cdot \frac{1}{\cos^2x}$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2} \cdot \tg^2x + \frac{x}{2} \cdot \left(2\tg x \cdot \frac{1}{\cos^2x}\right)$.

Упрощаем выражение:

$y' = \frac{1}{2}\tg^2x + \frac{x \tg x}{\cos^2x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2}\tg^2x + \frac{x \tg x}{\cos^2x}$.

4) Функция $y = x\cos\frac{x}{2}$ является произведением двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \cos\frac{x}{2}$. Применяем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для $v(x)$ используем цепное правило:

$v'(x) = \left(\cos\frac{x}{2}\right)' = -\sin\frac{x}{2} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = -\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = 1 \cdot \cos\frac{x}{2} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}\right) = \cos\frac{x}{2} - \frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}$.

Ответ: $y' = \cos\frac{x}{2} - \frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}$.

5) Функция $y = x\sin x$ является произведением двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$. Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные каждой функции:

$u'(x) = (x)' = 1$.

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Подставляем в формулу:

$y' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x$.

Ответ: $y' = \sin x + x\cos x$.

6) Для нахождения производной функции $y = 2\sin^2x$ представим ее как $y = 2(\sin x)^2$ и применим цепное правило.

Пусть $u(x) = \sin x$, тогда $y = 2u^2$.

Производная по $x$ будет равна: $y' = \frac{d(2u^2)}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

Находим производные:

$\frac{d(2u^2)}{du} = 4u = 4\sin x$.

$\frac{du}{dx} = (\sin x)' = \cos x$.

Перемножаем их:

$y' = 4\sin x \cdot \cos x$.

Этот результат можно упростить, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$y' = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.

Ответ: $y' = 2\sin(2x)$.

13. 1) $y = \sin x + x$;

2) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{2}\right) - x^2$;

3) $y = 3 - \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \sin(\pi - x)$;

4) $y = \frac{1}{2}\cos 2x \sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) + 3$;

5) $y = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$.

Для определения, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, необходимо проверить выполнение следующих условий для любого $x$ из области определения функции $f(x)$:

• Функция четная, если $f(-x) = f(x)$.
• Функция нечетная, если $f(-x) = -f(x)$.
• Если ни одно из этих условий не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

При решении будут использоваться свойства тригонометрических функций:

• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (нечетная функция)
• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (четная функция)

1) $y = \sin x + x$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \sin x + x$. Область определения функции — все действительные числа. Чтобы определить четность или нечетность функции, найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sin(-x) + (-x)$

Используем свойство нечетности синуса, $\sin(-x) = -\sin x$.

$f(-x) = -\sin x - x = -(\sin x + x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

2) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - x^2$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - x^2$. Область определения — все действительные числа. Сначала упростим выражение. Используем свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha)$:

$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = \sin x - x^2$.

Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sin(-x) - (-x)^2 = -\sin x - x^2$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -\sin x - x^2 \neq f(x) = \sin x - x^2$

$-f(x) = -(\sin x - x^2) = -\sin x + x^2$

$f(-x) = -\sin x - x^2 \neq -f(x) = -\sin x + x^2$

Поскольку ни условие четности $f(-x) = f(x)$, ни условие нечетности $f(-x) = -f(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

3) $y = 3 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\sin(\pi - x)$

Обозначим функцию как $f(x) = 3 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\sin(\pi - x)$. Область определения — все действительные числа. Упростим выражение с помощью формул приведения:

$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$

$\sin(\pi - x) = \sin x$

Подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$f(x) = 3 - (-\sin x)(\sin x) = 3 + \sin^2 x$

Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 3 + \sin^2(-x) = 3 + (-\sin x)^2 = 3 + \sin^2 x$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

4) $y = \frac{1}{2}\cos(2x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) + 3$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{1}{2}\cos(2x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) + 3$. Область определения — все действительные числа. Упростим выражение, используя формулу приведения $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos(\alpha)$:

$\sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\cos(2x)$

Подставим в исходную функцию:

$f(x) = \frac{1}{2}\cos(2x)(-\cos(2x)) + 3 = -\frac{1}{2}\cos^2(2x) + 3$

Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos^2(2(-x)) + 3 = -\frac{1}{2}\cos^2(-2x) + 3$

Так как косинус — четная функция, $\cos(-2x) = \cos(2x)$, то $\cos^2(-2x) = \cos^2(2x)$.

$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos^2(2x) + 3$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$, и функция является четной.

Ответ: функция четная.

5) $y = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$

Обозначим функцию как $f(x) = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$. Область определения — все действительные числа. Чтобы определить четность, найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + \frac{1 + \cos(-x)}{2}$

Используем свойства степенной функции с четным показателем $(-x)^2 = x^2$ и четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$.

$f(-x) = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Это также следует из того, что функция представляет собой сумму двух четных функций: $g(x) = x^2$ и $h(x) = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Ответ: функция четная.