Номер 12, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 12, страница 13.

Условие.

12. 1) $y = \cos 3x;$

2) $y = 2\sin 4x;$

3) $y = \frac{x}{2}\text{tg}^2 x;$

4) $y = x\cos \frac{x}{2};$

5) $y = x\sin x;$

6) $y = 2\sin^2 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = \cos(3x)$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть внутренняя функция $u(x) = 3x$, а внешняя функция $f(u) = \cos(u)$.

Производная внешней функции по ее аргументу: $f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.

Производная внутренней функции по $x$: $u'(x) = (3x)' = 3$.

По цепному правилу, производная исходной функции равна произведению производной внешней функции (взятой по внутренней функции) на производную внутренней функции: $y' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Подставляя наши выражения, получаем:

$y' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.

Ответ: $y' = -3\sin(3x)$.

2) Для функции $y = 2\sin(4x)$ мы используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и цепное правило. Константу 2 можно вынести за знак производной.

$y' = (2\sin(4x))' = 2 \cdot (\sin(4x))'$.

Далее, для нахождения производной $\sin(4x)$ применяем цепное правило. Пусть $u(x) = 4x$. Тогда $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

$(\sin(4x))' = \cos(4x) \cdot (4x)' = \cos(4x) \cdot 4 = 4\cos(4x)$.

Собираем все вместе:

$y' = 2 \cdot 4\cos(4x) = 8\cos(4x)$.

Ответ: $y' = 8\cos(4x)$.

3) Функция $y = \frac{x}{2}\tg^2x$ является произведением двух функций: $u(x) = \frac{x}{2}$ и $v(x) = \tg^2x$. Применяем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные каждой функции:

$u'(x) = (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.

Для нахождения $v'(x)$ используем цепное правило. Функция $v(x) = (\tg x)^2$.

$v'(x) = 2\tg x \cdot (\tg x)' = 2\tg x \cdot \frac{1}{\cos^2x}$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2} \cdot \tg^2x + \frac{x}{2} \cdot \left(2\tg x \cdot \frac{1}{\cos^2x}\right)$.

Упрощаем выражение:

$y' = \frac{1}{2}\tg^2x + \frac{x \tg x}{\cos^2x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2}\tg^2x + \frac{x \tg x}{\cos^2x}$.

4) Функция $y = x\cos\frac{x}{2}$ является произведением двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \cos\frac{x}{2}$. Применяем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для $v(x)$ используем цепное правило:

$v'(x) = \left(\cos\frac{x}{2}\right)' = -\sin\frac{x}{2} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = -\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = 1 \cdot \cos\frac{x}{2} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}\right) = \cos\frac{x}{2} - \frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}$.

Ответ: $y' = \cos\frac{x}{2} - \frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}$.

5) Функция $y = x\sin x$ является произведением двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$. Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные каждой функции:

$u'(x) = (x)' = 1$.

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Подставляем в формулу:

$y' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x$.

Ответ: $y' = \sin x + x\cos x$.

6) Для нахождения производной функции $y = 2\sin^2x$ представим ее как $y = 2(\sin x)^2$ и применим цепное правило.

Пусть $u(x) = \sin x$, тогда $y = 2u^2$.

Производная по $x$ будет равна: $y' = \frac{d(2u^2)}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

Находим производные:

$\frac{d(2u^2)}{du} = 4u = 4\sin x$.

$\frac{du}{dx} = (\sin x)' = \cos x$.

Перемножаем их:

$y' = 4\sin x \cdot \cos x$.

Этот результат можно упростить, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$y' = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.

Ответ: $y' = 2\sin(2x)$.