Номер 7, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 7, страница 9.

Условие.

Найти множество значений функции (7–9).

7. 1) $y = 2\sin^2 x - \cos 2x;$

2) $y = 1 - 8\cos^2 x \sin^2 x;$

3) $y = \frac{1+8\cos^2 x}{4};$

4) $y = 10 - 9\sin^2 3x;$

5) $y = 1 - 2|\cos x|;$

6) $y = \sin x + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = 2\sin^2x - \cos(2x)$

Для нахождения множества значений функции преобразуем данное выражение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.

$y = 2\sin^2x - (1 - 2\sin^2x) = 2\sin^2x - 1 + 2\sin^2x = 4\sin^2x - 1$.

Теперь найдём множество значений полученной функции. Область значений для $\sin^2x$ — это отрезок $[0; 1]$, так как синус принимает значения от -1 до 1, а его квадрат — от 0 до 1.

$0 \le \sin^2x \le 1$

Умножим все части неравенства на 4:

$0 \le 4\sin^2x \le 4$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$0 - 1 \le 4\sin^2x - 1 \le 4 - 1$

$-1 \le y \le 3$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-1; 3]$.

Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

2) $y = 1 - 8\cos^2x\sin^2x$

Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$.

$y = 1 - 2 \cdot (4\cos^2x\sin^2x) = 1 - 2 \cdot (2\sin x\cos x)^2 = 1 - 2(\sin(2x))^2 = 1 - 2\sin^2(2x)$.

Теперь применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$y = \cos(2 \cdot 2x) = \cos(4x)$.

Множество значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Аргумент $4x$ не меняет множество значений.

Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.

3) $y = \frac{1 + 8\cos^2x}{4}$

Множество значений этой функции зависит от значений выражения $\cos^2x$.

Известно, что $0 \le \cos^2x \le 1$.

Выполним преобразования с этим неравенством:

Умножим на 8: $0 \le 8\cos^2x \le 8$.

Прибавим 1: $1 \le 1 + 8\cos^2x \le 9$.

Разделим на 4: $\frac{1}{4} \le \frac{1 + 8\cos^2x}{4} \le \frac{9}{4}$.

Следовательно, $\frac{1}{4} \le y \le \frac{9}{4}$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{4}; \frac{9}{4}]$.

4) $y = 10 - 9\sin^2(3x)$

Множество значений функции определяется множеством значений выражения $\sin^2(3x)$.

Известно, что $0 \le \sin^2(3x) \le 1$.

Умножим неравенство на -9, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$0 \ge -9\sin^2(3x) \ge -9$, что эквивалентно $-9 \le -9\sin^2(3x) \le 0$.

Прибавим 10 ко всем частям неравенства:

$10 - 9 \le 10 - 9\sin^2(3x) \le 10 + 0$

$1 \le y \le 10$

Ответ: $E(y) = [1; 10]$.

5) $y = 1 - 2|\cos x|$

Множество значений этой функции зависит от значений выражения $|\cos x|$.

Известно, что $0 \le |\cos x| \le 1$.

Умножим неравенство на -2 (знаки неравенства изменятся на противоположные):

$0 \ge -2|\cos x| \ge -2$, что эквивалентно $-2 \le -2|\cos x| \le 0$.

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 - 2 \le 1 - 2|\cos x| \le 1 + 0$

$-1 \le y \le 1$

Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.

6) $y = \sin x + \sin(x + \frac{\pi}{3})$

Для преобразования выражения воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = x + \frac{\pi}{3}$.

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{x + x + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2x + \frac{\pi}{3}}{2} = x + \frac{\pi}{6}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{x - (x + \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{6}$

Подставим эти значения в формулу:

$y = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})\cos(-\frac{\pi}{6})$.

Так как $\cos(-z) = \cos(z)$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$y = 2\sin(x + \frac{\pi}{6}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin(x + \frac{\pi}{6})$.

Множество значений функции $\sin(x + \frac{\pi}{6})$ есть отрезок $[-1; 1]$.

Следовательно, множество значений функции $y = \sqrt{3}\sin(x + \frac{\pi}{6})$ есть отрезок $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

Ответ: $E(y) = [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.