Номер 7, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 7, страница 9.
№7 (с. 9)
Условие. №7 (с. 9)
скриншот условия

Найти множество значений функции (7–9).
7. 1) $y = 2\sin^2 x - \cos 2x;$
2) $y = 1 - 8\cos^2 x \sin^2 x;$
3) $y = \frac{1+8\cos^2 x}{4};$
4) $y = 10 - 9\sin^2 3x;$
5) $y = 1 - 2|\cos x|;$
6) $y = \sin x + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right).$
Решение 1. №7 (с. 9)






Решение 2. №7 (с. 9)


Решение 3. №7 (с. 9)
1) $y = 2\sin^2x - \cos(2x)$
Для нахождения множества значений функции преобразуем данное выражение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.
$y = 2\sin^2x - (1 - 2\sin^2x) = 2\sin^2x - 1 + 2\sin^2x = 4\sin^2x - 1$.
Теперь найдём множество значений полученной функции. Область значений для $\sin^2x$ — это отрезок $[0; 1]$, так как синус принимает значения от -1 до 1, а его квадрат — от 0 до 1.
$0 \le \sin^2x \le 1$
Умножим все части неравенства на 4:
$0 \le 4\sin^2x \le 4$
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$0 - 1 \le 4\sin^2x - 1 \le 4 - 1$
$-1 \le y \le 3$
Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-1; 3]$.
Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.
2) $y = 1 - 8\cos^2x\sin^2x$
Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$.
$y = 1 - 2 \cdot (4\cos^2x\sin^2x) = 1 - 2 \cdot (2\sin x\cos x)^2 = 1 - 2(\sin(2x))^2 = 1 - 2\sin^2(2x)$.
Теперь применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.
$y = \cos(2 \cdot 2x) = \cos(4x)$.
Множество значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Аргумент $4x$ не меняет множество значений.
Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.
3) $y = \frac{1 + 8\cos^2x}{4}$
Множество значений этой функции зависит от значений выражения $\cos^2x$.
Известно, что $0 \le \cos^2x \le 1$.
Выполним преобразования с этим неравенством:
Умножим на 8: $0 \le 8\cos^2x \le 8$.
Прибавим 1: $1 \le 1 + 8\cos^2x \le 9$.
Разделим на 4: $\frac{1}{4} \le \frac{1 + 8\cos^2x}{4} \le \frac{9}{4}$.
Следовательно, $\frac{1}{4} \le y \le \frac{9}{4}$.
Ответ: $E(y) = [\frac{1}{4}; \frac{9}{4}]$.
4) $y = 10 - 9\sin^2(3x)$
Множество значений функции определяется множеством значений выражения $\sin^2(3x)$.
Известно, что $0 \le \sin^2(3x) \le 1$.
Умножим неравенство на -9, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$0 \ge -9\sin^2(3x) \ge -9$, что эквивалентно $-9 \le -9\sin^2(3x) \le 0$.
Прибавим 10 ко всем частям неравенства:
$10 - 9 \le 10 - 9\sin^2(3x) \le 10 + 0$
$1 \le y \le 10$
Ответ: $E(y) = [1; 10]$.
5) $y = 1 - 2|\cos x|$
Множество значений этой функции зависит от значений выражения $|\cos x|$.
Известно, что $0 \le |\cos x| \le 1$.
Умножим неравенство на -2 (знаки неравенства изменятся на противоположные):
$0 \ge -2|\cos x| \ge -2$, что эквивалентно $-2 \le -2|\cos x| \le 0$.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 2 \le 1 - 2|\cos x| \le 1 + 0$
$-1 \le y \le 1$
Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.
6) $y = \sin x + \sin(x + \frac{\pi}{3})$
Для преобразования выражения воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = x + \frac{\pi}{3}$.
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{x + x + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2x + \frac{\pi}{3}}{2} = x + \frac{\pi}{6}$
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{x - (x + \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{6}$
Подставим эти значения в формулу:
$y = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})\cos(-\frac{\pi}{6})$.
Так как $\cos(-z) = \cos(z)$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$y = 2\sin(x + \frac{\pi}{6}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin(x + \frac{\pi}{6})$.
Множество значений функции $\sin(x + \frac{\pi}{6})$ есть отрезок $[-1; 1]$.
Следовательно, множество значений функции $y = \sqrt{3}\sin(x + \frac{\pi}{6})$ есть отрезок $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.
Ответ: $E(y) = [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 9 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 9), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.