Номер 3, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 3, страница 8.

Условие.

3. Найти область определения функции:

1) $y = \frac{1}{\cos x}$;

2) $y = \frac{2}{\sin x}$;

3) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$;

4) $y = \operatorname{tg} 5x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Область определения функции $y = \frac{1}{\cos x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. То есть, $\cos x \neq 0$.

Решаем уравнение $\cos x = 0$. Его решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Следовательно, область определения функции - это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $y = \frac{2}{\sin x}$ знаменатель также не должен быть равен нулю. То есть, $\sin x \neq 0$.

Решаем уравнение $\sin x = 0$. Его решениями являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, область определения функции - это все действительные числа, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Функция тангенса $\text{tg} z$ по определению равна $\frac{\sin z}{\cos z}$. Она не определена, когда знаменатель $\cos z = 0$.

В данном случае $y = \text{tg}\frac{x}{3}$, поэтому $z = \frac{x}{3}$. Условие существования функции: $\cos \frac{x}{3} \neq 0$.

Находим значения, при которых $\cos \frac{x}{3} = 0$. Это происходит, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножаем обе части на 3, чтобы выразить $x$:

$x = 3 \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения - все действительные числа, за исключением этих значений.

Ответ: $x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Аналогично предыдущему пункту, функция $y = \text{tg}(5x)$ не определена, когда косинус ее аргумента равен нулю.

Условие существования функции: $\cos (5x) \neq 0$.

Находим значения, при которых $\cos (5x) = 0$. Это происходит, когда аргумент $5x$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Делим обе части на 5, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции - все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.