Номер 4, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 4, страница 9.

Условие.

4. Найти область определения функции f(x) и вычислить её значение в заданных точках:

1) $f(x)=\frac{\cos 2x}{\sin x}; x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{7\pi}{2}$

2) $f(x)=\frac{x}{\cos \pi x}; x_1 = 0, x_2 = -1, x_3 = 100$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = \frac{\cos 2x}{\sin x}$.

Нахождение области определения:
Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.
Условие для области определения: $\sin x \neq 0$.
Решая это тригонометрическое неравенство, находим, что синус равен нулю в точках $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, за исключением точек вида $k\pi$.
$D(f): x \in \mathbb{R}, x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Вычисление значений функции в заданных точках:
- Для точки $x_1 = \frac{\pi}{4}$:
Проверим, входит ли точка в область определения. Так как $\frac{\pi}{4} \neq k\pi$ для любого целого $k$, точка принадлежит области определения.
Вычисляем значение функции:
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{4})}$
Мы знаем значения тригонометрических функций: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 0$.

- Для точки $x_2 = \frac{7\pi}{2}$:
Проверим, входит ли точка в область определения. Так как $\frac{7\pi}{2} \neq k\pi$ для любого целого $k$, точка принадлежит области определения.
Вычисляем значение функции:
$f(\frac{7\pi}{2}) = \frac{\cos(2 \cdot \frac{7\pi}{2})}{\sin(\frac{7\pi}{2})} = \frac{\cos(7\pi)}{\sin(\frac{7\pi}{2})}$
Вычислим значения числителя и знаменателя:
$\cos(7\pi) = \cos(6\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
$\sin(\frac{7\pi}{2}) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
$f(\frac{7\pi}{2}) = \frac{-1}{-1} = 1$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Значения функции: $f(\frac{\pi}{4}) = 0$, $f(\frac{7\pi}{2}) = 1$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x}{\cos(\pi x)}$.

Нахождение области определения:
Функция определена для всех $x$, при которых знаменатель $\cos(\pi x)$ не равен нулю.
Условие для области определения: $\cos(\pi x) \neq 0$.
Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\pi x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
Разделим обе части неравенства на $\pi$:
$x \neq \frac{1}{2} + k, k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме чисел вида $k + 0.5$.
$D(f): x \in \mathbb{R}, x \neq k + \frac{1}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Вычисление значений функции в заданных точках:
- Для точки $x_1 = 0$:
Точка $x_1 = 0$ не имеет вид $k + \frac{1}{2}$, поэтому она принадлежит области определения.
$f(0) = \frac{0}{\cos(\pi \cdot 0)} = \frac{0}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$.

- Для точки $x_2 = -1$:
Точка $x_2 = -1$ не имеет вид $k + \frac{1}{2}$, поэтому она принадлежит области определения.
$f(-1) = \frac{-1}{\cos(\pi \cdot (-1))} = \frac{-1}{\cos(-\pi)}$
Так как косинус — четная функция, $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.
$f(-1) = \frac{-1}{-1} = 1$.

- Для точки $x_3 = 100$:
Точка $x_3 = 100$ не имеет вид $k + \frac{1}{2}$, поэтому она принадлежит области определения.
$f(100) = \frac{100}{\cos(\pi \cdot 100)} = \frac{100}{\cos(100\pi)}$
Аргумент косинуса $100\pi$ является четным кратным $\pi$, поэтому $\cos(100\pi) = 1$.
$f(100) = \frac{100}{1} = 100$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq k + \frac{1}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Значения функции: $f(0) = 0$, $f(-1) = 1$, $f(100) = 100$.