Номер 6, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 6, страница 9.

Условие.

6. 1) $y = \frac{1}{2\sin^2 x - \sin x}$;

2) $y = \frac{2}{\cos^2 x - \sin^2 x}$;

3) $y = \frac{1}{\sin x - \sin 3x}$;

4) $y = \frac{1}{\cos^3 x + \cos x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y=\frac{1}{2\sin^2x - \sin x}$.

Область определения функции - это все значения $x$, для которых выражение в знаменателе не равно нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

$2\sin^2x - \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\sin x - 1) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1. $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in Z$ ($Z$ - множество целых чисел).

2. $2\sin x - 1 = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: $x \neq \pi k, k \in Z$ и $x \neq (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

2) Дана функция $y=\frac{2}{\cos^2x - \sin^2x}$.

Область определения функции - это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$.

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$\cos(2x) \neq 0$

Найдем значения $x$, для которых $\cos(2x) = 0$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Следовательно, область определения функции - это все действительные числа, кроме этих значений.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

3) Дана функция $y=\frac{1}{\sin x - \sin 3x}$.

Область определения функции - это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$\sin x - \sin 3x = 0$

Воспользуемся формулой разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

$2\sin\frac{x-3x}{2}\cos\frac{x+3x}{2} = 0$

$2\sin(-x)\cos(2x) = 0$

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$-2\sin x \cos(2x) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1. $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in Z$.

2. $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Область определения функции - это все действительные числа, за исключением этих значений.

Ответ: $x \neq \pi k, k \in Z$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

4) Дана функция $y=\frac{1}{\cos^3x + \cos x}$.

Область определения функции - это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$\cos^3x + \cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos^2x + 1) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1. $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

2. $\cos^2x + 1 = 0$

$\cos^2x = -1$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($\cos^2x \ge 0$). Следовательно, выражение $\cos^2x + 1$ всегда больше или равно 1 и никогда не равно нулю.

Таким образом, единственное ограничение на область определения дает условие $\cos x \neq 0$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.