Номер 6, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 6, страница 9.
№6 (с. 9)
Условие. №6 (с. 9)
скриншот условия

6. 1) $y = \frac{1}{2\sin^2 x - \sin x}$;
2) $y = \frac{2}{\cos^2 x - \sin^2 x}$;
3) $y = \frac{1}{\sin x - \sin 3x}$;
4) $y = \frac{1}{\cos^3 x + \cos x}$.
Решение 1. №6 (с. 9)




Решение 2. №6 (с. 9)


Решение 3. №6 (с. 9)
1) Дана функция $y=\frac{1}{2\sin^2x - \sin x}$.
Область определения функции - это все значения $x$, для которых выражение в знаменателе не равно нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:
$2\sin^2x - \sin x = 0$
Вынесем $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2\sin x - 1) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
1. $\sin x = 0$
Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in Z$ ($Z$ - множество целых чисел).
2. $2\sin x - 1 = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$
Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.
Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме найденных значений.
Ответ: $x \neq \pi k, k \in Z$ и $x \neq (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.
2) Дана функция $y=\frac{2}{\cos^2x - \sin^2x}$.
Область определения функции - это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$.
Знаменатель не должен быть равен нулю:
$\cos(2x) \neq 0$
Найдем значения $x$, для которых $\cos(2x) = 0$:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.
Следовательно, область определения функции - это все действительные числа, кроме этих значений.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.
3) Дана функция $y=\frac{1}{\sin x - \sin 3x}$.
Область определения функции - это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю:
$\sin x - \sin 3x = 0$
Воспользуемся формулой разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
$2\sin\frac{x-3x}{2}\cos\frac{x+3x}{2} = 0$
$2\sin(-x)\cos(2x) = 0$
Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:
$-2\sin x \cos(2x) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
1. $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in Z$.
2. $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Область определения функции - это все действительные числа, за исключением этих значений.
Ответ: $x \neq \pi k, k \in Z$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.
4) Дана функция $y=\frac{1}{\cos^3x + \cos x}$.
Область определения функции - это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю:
$\cos^3x + \cos x = 0$
Вынесем $\cos x$ за скобки:
$\cos x (\cos^2x + 1) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
1. $\cos x = 0$
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
2. $\cos^2x + 1 = 0$
$\cos^2x = -1$
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($\cos^2x \ge 0$). Следовательно, выражение $\cos^2x + 1$ всегда больше или равно 1 и никогда не равно нулю.
Таким образом, единственное ограничение на область определения дает условие $\cos x \neq 0$.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 9 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 9), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.