Номер 8, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 8, страница 9.

Условие.

8. 1) $y = \sin x - 5\cos x;$

2) $y = \sin^2 x - 2\sin x;$

3) $y = 10\cos^2 x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2 x;$

4) $y = \cos^2 x + 3\cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения области значений функции $y = \sin x - 5\cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a \sin x + b \cos x$ можно преобразовать к виду $R\sin(x+\alpha)$ или $R\cos(x-\alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае $a=1$ и $b=-5$. Найдем $R$:

$R = \sqrt{1^2+(-5)^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$.

Преобразуем исходное выражение:

$y = \sqrt{26} \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\sin x - \frac{5}{\sqrt{26}}\cos x\right)$.

Пусть существует такой угол $\alpha$, что $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{26}}$ и $\sin \alpha = -\frac{5}{\sqrt{26}}$. Такое возможно, так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 + \left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{1}{26} + \frac{25}{26} = 1$.

Тогда выражение для $y$ можно записать с использованием формулы синуса суммы $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$:

$y = \sqrt{26} (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = \sqrt{26} \sin(x+\alpha)$.

Область значений функции синус, то есть $\sin(x+\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, для нахождения области значений функции $y$, нужно умножить границы этого отрезка на $\sqrt{26}$:

$y_{min} = \sqrt{26} \cdot (-1) = -\sqrt{26}$.

$y_{max} = \sqrt{26} \cdot 1 = \sqrt{26}$.

Таким образом, область значений функции $y$ - это отрезок $[-\sqrt{26}, \sqrt{26}]$.

Ответ: $E(y) = [-\sqrt{26}, \sqrt{26}]$.

2) Рассмотрим функцию $y = \sin^2 x - 2\sin x$. Это квадратичная функция относительно $\sin x$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то переменная $t$ может принимать значения только из этого отрезка: $t \in [-1, 1]$.

После замены получаем квадратичную функцию $y(t) = t^2 - 2t$, которую нужно исследовать на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Вершина параболы $t_v = 1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. В этой точке функция достигает своего минимума, так как ветви параболы направлены вверх.

$y_{min} = y(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

Максимальное значение на отрезке будет достигаться в точке, наиболее удаленной от вершины. Так как вершина находится на правом конце отрезка, максимальное значение будет на левом конце, при $t = -1$.

$y_{max} = y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Следовательно, область значений функции есть отрезок от минимального до максимального значения.

Ответ: $E(y) = [-1, 3]$.

3) Рассмотрим функцию $y = 10\cos^2 x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2 x$.

Для нахождения области значений преобразуем выражение, используя тригонометрические формулы понижения степени и двойного угла:

$\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$

$\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$

$2\sin x \cos x = \sin(2x) \implies 6\sin x \cos x = 3\sin(2x)$

Подставим эти выражения в исходную функцию:

$y = 10\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) - 3\sin(2x) + 2\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)$

$y = 5(1+\cos(2x)) - 3\sin(2x) + (1-\cos(2x))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = 5 + 5\cos(2x) - 3\sin(2x) + 1 - \cos(2x)$

$y = 6 + 4\cos(2x) - 3\sin(2x)$

Теперь задача сводится к нахождению области значений выражения $z = 4\cos(2x) - 3\sin(2x)$. Это линейная комбинация синуса и косинуса. Ее область значений - отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

В нашем случае $a=4$ и $b=-3$.

$\sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Значит, область значений для $z$ - это отрезок $[-5, 5]$.

Теперь найдем область значений для $y = 6+z$:

$y_{min} = 6 + z_{min} = 6 - 5 = 1$.

$y_{max} = 6 + z_{max} = 6 + 5 = 11$.

Таким образом, область значений исходной функции - это отрезок $[1, 11]$.

Ответ: $E(y) = [1, 11]$.

4) Рассмотрим функцию $y = \cos^2 x + 3\cos x$. Это квадратичная функция относительно $\cos x$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Область значений косинуса - это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $t \in [-1, 1]$.

Получаем квадратичную функцию $y(t) = t^2 + 3t$, которую нужно исследовать на отрезке $t \in [-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.

Вершина параболы $t_v = -1.5$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Так как вершина параболы находится левее отрезка $[-1, 1]$ ($t_v < -1$), а ветви направлены вверх, то на всем отрезке $[-1, 1]$ функция $y(t)$ монотонно возрастает.

Следовательно, минимальное значение функция принимает на левом конце отрезка, при $t = -1$, а максимальное — на правом, при $t = 1$.

$y_{min} = y(-1) = (-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2$.

$y_{max} = y(1) = 1^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$.

Таким образом, область значений функции есть отрезок от минимального до максимального значения.

Ответ: $E(y) = [-2, 4]$.