Номер 8, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 8, страница 9.
№8 (с. 9)
Условие. №8 (с. 9)
скриншот условия

8. 1) $y = \sin x - 5\cos x;$
2) $y = \sin^2 x - 2\sin x;$
3) $y = 10\cos^2 x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2 x;$
4) $y = \cos^2 x + 3\cos x.$
Решение 1. №8 (с. 9)




Решение 2. №8 (с. 9)


Решение 3. №8 (с. 9)
1) Для нахождения области значений функции $y = \sin x - 5\cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a \sin x + b \cos x$ можно преобразовать к виду $R\sin(x+\alpha)$ или $R\cos(x-\alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.
В нашем случае $a=1$ и $b=-5$. Найдем $R$:
$R = \sqrt{1^2+(-5)^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$.
Преобразуем исходное выражение:
$y = \sqrt{26} \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\sin x - \frac{5}{\sqrt{26}}\cos x\right)$.
Пусть существует такой угол $\alpha$, что $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{26}}$ и $\sin \alpha = -\frac{5}{\sqrt{26}}$. Такое возможно, так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 + \left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{1}{26} + \frac{25}{26} = 1$.
Тогда выражение для $y$ можно записать с использованием формулы синуса суммы $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$:
$y = \sqrt{26} (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = \sqrt{26} \sin(x+\alpha)$.
Область значений функции синус, то есть $\sin(x+\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно, для нахождения области значений функции $y$, нужно умножить границы этого отрезка на $\sqrt{26}$:
$y_{min} = \sqrt{26} \cdot (-1) = -\sqrt{26}$.
$y_{max} = \sqrt{26} \cdot 1 = \sqrt{26}$.
Таким образом, область значений функции $y$ - это отрезок $[-\sqrt{26}, \sqrt{26}]$.
Ответ: $E(y) = [-\sqrt{26}, \sqrt{26}]$.
2) Рассмотрим функцию $y = \sin^2 x - 2\sin x$. Это квадратичная функция относительно $\sin x$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то переменная $t$ может принимать значения только из этого отрезка: $t \in [-1, 1]$.
После замены получаем квадратичную функцию $y(t) = t^2 - 2t$, которую нужно исследовать на отрезке $[-1, 1]$.
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Вершина параболы $t_v = 1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. В этой точке функция достигает своего минимума, так как ветви параболы направлены вверх.
$y_{min} = y(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Максимальное значение на отрезке будет достигаться в точке, наиболее удаленной от вершины. Так как вершина находится на правом конце отрезка, максимальное значение будет на левом конце, при $t = -1$.
$y_{max} = y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
Следовательно, область значений функции есть отрезок от минимального до максимального значения.
Ответ: $E(y) = [-1, 3]$.
3) Рассмотрим функцию $y = 10\cos^2 x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2 x$.
Для нахождения области значений преобразуем выражение, используя тригонометрические формулы понижения степени и двойного угла:
$\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$
$\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$
$2\sin x \cos x = \sin(2x) \implies 6\sin x \cos x = 3\sin(2x)$
Подставим эти выражения в исходную функцию:
$y = 10\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) - 3\sin(2x) + 2\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)$
$y = 5(1+\cos(2x)) - 3\sin(2x) + (1-\cos(2x))$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y = 5 + 5\cos(2x) - 3\sin(2x) + 1 - \cos(2x)$
$y = 6 + 4\cos(2x) - 3\sin(2x)$
Теперь задача сводится к нахождению области значений выражения $z = 4\cos(2x) - 3\sin(2x)$. Это линейная комбинация синуса и косинуса. Ее область значений - отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.
В нашем случае $a=4$ и $b=-3$.
$\sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
Значит, область значений для $z$ - это отрезок $[-5, 5]$.
Теперь найдем область значений для $y = 6+z$:
$y_{min} = 6 + z_{min} = 6 - 5 = 1$.
$y_{max} = 6 + z_{max} = 6 + 5 = 11$.
Таким образом, область значений исходной функции - это отрезок $[1, 11]$.
Ответ: $E(y) = [1, 11]$.
4) Рассмотрим функцию $y = \cos^2 x + 3\cos x$. Это квадратичная функция относительно $\cos x$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Область значений косинуса - это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $t \in [-1, 1]$.
Получаем квадратичную функцию $y(t) = t^2 + 3t$, которую нужно исследовать на отрезке $t \in [-1, 1]$.
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.
Вершина параболы $t_v = -1.5$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Так как вершина параболы находится левее отрезка $[-1, 1]$ ($t_v < -1$), а ветви направлены вверх, то на всем отрезке $[-1, 1]$ функция $y(t)$ монотонно возрастает.
Следовательно, минимальное значение функция принимает на левом конце отрезка, при $t = -1$, а максимальное — на правом, при $t = 1$.
$y_{min} = y(-1) = (-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2$.
$y_{max} = y(1) = 1^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$.
Таким образом, область значений функции есть отрезок от минимального до максимального значения.
Ответ: $E(y) = [-2, 4]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 9 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 9), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.