Номер 15, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 15, страница 14.

Условие.

15. Доказать, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T$, если:

1) $y = \sin 2x, T = \pi;$

2) $y = \cos \frac{x}{2}, T = 4\pi;$

3) $y = \operatorname{tg} 2x, T = \frac{\pi}{2};$

4) $y = \sin \frac{4x}{5}, T = -\frac{5}{2}\pi.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T$, необходимо по определению проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

1) $y = \sin(2x)$, $T = \pi$.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Подставим $x+T$ в функцию:

$f(x+T) = f(x+\pi) = \sin(2(x+\pi)) = \sin(2x + 2\pi)$.

Функция синус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

Следовательно, $\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)$.

Равенство $f(x+\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\pi$ является периодом функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $y = \cos\frac{x}{2}$, $T = 4\pi$.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Подставим $x+T$ в функцию:

$f(x+T) = f(x+4\pi) = \cos(\frac{x+4\pi}{2}) = \cos(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \cos(\frac{x}{2} + 2\pi)$.

Функция косинус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$.

Следовательно, $\cos(\frac{x}{2} + 2\pi) = \cos(\frac{x}{2}) = f(x)$.

Равенство $f(x+4\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=4\pi$ является периодом функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $y = \operatorname{tg}(2x)$, $T = \frac{\pi}{2}$.

Область определения функции задается условием $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T = x+\frac{\pi}{2}$ также принадлежит ей. Подставим $x+T$ в функцию:

$f(x+T) = f(x+\frac{\pi}{2}) = \operatorname{tg}(2(x+\frac{\pi}{2})) = \operatorname{tg}(2x + \pi)$.

Функция тангенс имеет основной период $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \operatorname{tg}(\alpha)$ для любого $\alpha$ из области определения. В нашем случае $\alpha = 2x$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(2x + \pi) = \operatorname{tg}(2x) = f(x)$.

Равенство $f(x+\frac{\pi}{2}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $y = \sin\frac{4x}{5}$, $T = \frac{5}{2}\pi$.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Подставим $x+T$ в функцию:

$f(x+T) = f(x+\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{4}{5}(x+\frac{5\pi}{2})) = \sin(\frac{4x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{4x}{5} + 2\pi)$.

Функция синус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{4x}{5}$.

Следовательно, $\sin(\frac{4x}{5} + 2\pi) = \sin(\frac{4x}{5}) = f(x)$.

Равенство $f(x+\frac{5\pi}{2}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{5\pi}{2}$ является периодом функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.