Номер 15, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 15, страница 14.
№15 (с. 14)
Условие. №15 (с. 14)
скриншот условия

15. Доказать, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T$, если:
1) $y = \sin 2x, T = \pi;$
2) $y = \cos \frac{x}{2}, T = 4\pi;$
3) $y = \operatorname{tg} 2x, T = \frac{\pi}{2};$
4) $y = \sin \frac{4x}{5}, T = -\frac{5}{2}\pi.$
Решение 1. №15 (с. 14)




Решение 2. №15 (с. 14)

Решение 3. №15 (с. 14)
Для доказательства того, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T$, необходимо по определению проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
1) $y = \sin(2x)$, $T = \pi$.
Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Подставим $x+T$ в функцию:
$f(x+T) = f(x+\pi) = \sin(2(x+\pi)) = \sin(2x + 2\pi)$.
Функция синус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.
Следовательно, $\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)$.
Равенство $f(x+\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\pi$ является периодом функции.
Ответ: Что и требовалось доказать.
2) $y = \cos\frac{x}{2}$, $T = 4\pi$.
Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Подставим $x+T$ в функцию:
$f(x+T) = f(x+4\pi) = \cos(\frac{x+4\pi}{2}) = \cos(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \cos(\frac{x}{2} + 2\pi)$.
Функция косинус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$.
Следовательно, $\cos(\frac{x}{2} + 2\pi) = \cos(\frac{x}{2}) = f(x)$.
Равенство $f(x+4\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=4\pi$ является периодом функции.
Ответ: Что и требовалось доказать.
3) $y = \operatorname{tg}(2x)$, $T = \frac{\pi}{2}$.
Область определения функции задается условием $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T = x+\frac{\pi}{2}$ также принадлежит ей. Подставим $x+T$ в функцию:
$f(x+T) = f(x+\frac{\pi}{2}) = \operatorname{tg}(2(x+\frac{\pi}{2})) = \operatorname{tg}(2x + \pi)$.
Функция тангенс имеет основной период $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \operatorname{tg}(\alpha)$ для любого $\alpha$ из области определения. В нашем случае $\alpha = 2x$.
Следовательно, $\operatorname{tg}(2x + \pi) = \operatorname{tg}(2x) = f(x)$.
Равенство $f(x+\frac{\pi}{2}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции.
Ответ: Что и требовалось доказать.
4) $y = \sin\frac{4x}{5}$, $T = \frac{5}{2}\pi$.
Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Подставим $x+T$ в функцию:
$f(x+T) = f(x+\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{4}{5}(x+\frac{5\pi}{2})) = \sin(\frac{4x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{4x}{5} + 2\pi)$.
Функция синус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{4x}{5}$.
Следовательно, $\sin(\frac{4x}{5} + 2\pi) = \sin(\frac{4x}{5}) = f(x)$.
Равенство $f(x+\frac{5\pi}{2}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{5\pi}{2}$ является периодом функции.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 14 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15 (с. 14), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.