Номер 14, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 14, страница 14.
№14 (с. 14)
Условие. №14 (с. 14)
скриншот условия

14. Доказать, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $2\pi$, если:
1) $y = \cos x - 1$;
2) $y = \sin x + 1$;
3) $y = 3\sin x$;
4) $y = \frac{\cos x}{2}$;
5) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;
6) $y = \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.
Решение 1. №14 (с. 14)






Решение 2. №14 (с. 14)

Решение 3. №14 (с. 14)
Для доказательства того, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T=2\pi$, необходимо для каждой функции проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$, то есть $f(x+2\pi) = f(x)$. Областью определения для всех указанных функций является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), поэтому если $x$ принадлежит области определения, то и $x+2\pi$ также принадлежит ей.
1)
Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - 1$.
Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) - 1$.
Используем свойство периодичности функции косинус, основной период которой равен $2\pi$: $\cos(z + 2\pi) = \cos z$.
Получаем: $f(x + 2\pi) = \cos x - 1$.
Так как $f(x) = \cos x - 1$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
2)
Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + 1$.
Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + 1$.
Используем свойство периодичности функции синус, основной период которой равен $2\pi$: $\sin(z + 2\pi) = \sin z$.
Получаем: $f(x + 2\pi) = \sin x + 1$.
Так как $f(x) = \sin x + 1$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
3)
Рассмотрим функцию $f(x) = 3\sin x$.
Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = 3\sin(x + 2\pi)$.
Используя периодичность синуса ($\sin(x + 2\pi) = \sin x$), получаем:
$f(x + 2\pi) = 3\sin x$.
Так как $f(x) = 3\sin x$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
4)
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\cos x}{2}$.
Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \frac{\cos(x + 2\pi)}{2}$.
Используя периодичность косинуса ($\cos(x + 2\pi) = \cos x$), получаем:
$f(x + 2\pi) = \frac{\cos x}{2}$.
Так как $f(x) = \frac{\cos x}{2}$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
5)
Рассмотрим функцию $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \sin\left((x + 2\pi) - \frac{\pi}{4}\right)$.
Сгруппируем слагаемые в аргументе синуса:
$f(x + 2\pi) = \sin\left(\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi\right)$.
Поскольку синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, $\sin(z + 2\pi) = \sin z$. Пусть $z = x - \frac{\pi}{4}$. Тогда:
$f(x + 2\pi) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Таким образом, мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
6)
Рассмотрим функцию $f(x) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.
Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \cos\left((x + 2\pi) + \frac{2\pi}{3}\right)$.
Сгруппируем слагаемые в аргументе косинуса:
$f(x + 2\pi) = \cos\left(\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\pi\right)$.
Поскольку косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, $\cos(z + 2\pi) = \cos z$. Пусть $z = x + \frac{2\pi}{3}$. Тогда:
$f(x + 2\pi) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.
Таким образом, мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14 расположенного на странице 14 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14 (с. 14), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.