Номер 14, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 14, страница 14.

Условие.

14. Доказать, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $2\pi$, если:

1) $y = \cos x - 1$;

2) $y = \sin x + 1$;

3) $y = 3\sin x$;

4) $y = \frac{\cos x}{2}$;

5) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

6) $y = \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T=2\pi$, необходимо для каждой функции проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$, то есть $f(x+2\pi) = f(x)$. Областью определения для всех указанных функций является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), поэтому если $x$ принадлежит области определения, то и $x+2\pi$ также принадлежит ей.

1)

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - 1$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) - 1$.

Используем свойство периодичности функции косинус, основной период которой равен $2\pi$: $\cos(z + 2\pi) = \cos z$.
Получаем: $f(x + 2\pi) = \cos x - 1$.

Так как $f(x) = \cos x - 1$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + 1$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + 1$.

Используем свойство периодичности функции синус, основной период которой равен $2\pi$: $\sin(z + 2\pi) = \sin z$.
Получаем: $f(x + 2\pi) = \sin x + 1$.

Так как $f(x) = \sin x + 1$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)

Рассмотрим функцию $f(x) = 3\sin x$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = 3\sin(x + 2\pi)$.

Используя периодичность синуса ($\sin(x + 2\pi) = \sin x$), получаем:
$f(x + 2\pi) = 3\sin x$.

Так как $f(x) = 3\sin x$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\cos x}{2}$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \frac{\cos(x + 2\pi)}{2}$.

Используя периодичность косинуса ($\cos(x + 2\pi) = \cos x$), получаем:
$f(x + 2\pi) = \frac{\cos x}{2}$.

Так как $f(x) = \frac{\cos x}{2}$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5)

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \sin\left((x + 2\pi) - \frac{\pi}{4}\right)$.

Сгруппируем слагаемые в аргументе синуса:
$f(x + 2\pi) = \sin\left(\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi\right)$.

Поскольку синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, $\sin(z + 2\pi) = \sin z$. Пусть $z = x - \frac{\pi}{4}$. Тогда:
$f(x + 2\pi) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Таким образом, мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6)

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \cos\left((x + 2\pi) + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Сгруппируем слагаемые в аргументе косинуса:
$f(x + 2\pi) = \cos\left(\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\pi\right)$.

Поскольку косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, $\cos(z + 2\pi) = \cos z$. Пусть $z = x + \frac{2\pi}{3}$. Тогда:
$f(x + 2\pi) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Таким образом, мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.