Номер 16, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 16, страница 14.

Условие.

16. Определить, является ли данная функция чётной или нечётной:

1) $y = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$;

2) $y = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1 + \cos 2x}$;

3) $y = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x}$;

4) $y = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x}$;

5) $y = x |\sin x| \sin^3 x$;

6) $y = 3^{\cos x}$,

7) $y = x^2 \sin \frac{1}{x}$;

8) $y = \log_3 \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит ей).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ – функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ – функция является нечётной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $y = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$

Пусть $f(x) = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$.

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $1+\cos x \neq 0$, следовательно, $\cos x \neq -1$, что означает $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля, так как если $x$ не равен $\pi + 2\pi k$, то и $-x$ не равен $-(\pi + 2\pi k)$.

Теперь найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{1-\cos(-x)}{1+\cos(-x)}$

Используя свойство функции косинус $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$f(-x) = \frac{1-\cos x}{1+\cos x} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $y = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1+\cos 2x}$

Пусть $f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1+\cos 2x}$. Упростим выражение: $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ и $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$.

$f(x) = \frac{|\sin x|}{2\cos^2 x}$

Область определения: $1+\cos 2x \neq 0$, то есть $\cos 2x \neq -1$, $2x \neq \pi + 2\pi k$, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{|\sin(-x)|}{1+\cos(2(-x))} = \frac{|-\sin x|}{1+\cos(2x)} = \frac{|\sin x|}{1+\cos 2x} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $y = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x}$

Пусть $f(x) = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x}$.

Область определения: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos(2(-x)) - (-x)^2}{\sin(-x)} = \frac{\cos(2x) - x^2}{-\sin x} = - \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

4) $y = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x}$

Пусть $f(x) = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x}$.

Область определения: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 + \sin(2(-x))}{\cos(-x)} = \frac{-x^3 - \sin(2x)}{\cos x} = - \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

5) $y = x |\sin x| \sin^3 x$

Пусть $f(x) = x |\sin x| \sin^3 x$.

Область определения - все действительные числа $\mathbb{R}$, она симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) |\sin(-x)| \sin^3(-x) = (-x) |-\sin x| (-\sin x)^3 = (-x) |\sin x| (-\sin^3 x) = x |\sin x| \sin^3 x = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

6) $y = 3^{\cos x}$

Пусть $f(x) = 3^{\cos x}$.

Область определения - все действительные числа $\mathbb{R}$, она симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = 3^{\cos(-x)} = 3^{\cos x} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

7) $y = x^2 \sin \frac{1}{x}$

Пусть $f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$.

Область определения: $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \sin\left(\frac{1}{-x}\right) = x^2 \sin\left(-\frac{1}{x}\right) = x^2 \left(-\sin\frac{1}{x}\right) = -x^2 \sin\frac{1}{x} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

8) $y = \log_3 \frac{1+\sin x}{1-\sin x}$

Пусть $f(x) = \log_3 \frac{1+\sin x}{1-\sin x}$.

Область определения: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $\frac{1+\sin x}{1-\sin x} > 0$. Это неравенство выполняется, когда $-1 < \sin x < 1$. То есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \log_3 \frac{1+\sin(-x)}{1-\sin(-x)} = \log_3 \frac{1-\sin x}{1+\sin x}$

Используя свойство логарифма $\log_a \frac{b}{c} = -\log_a \frac{c}{b}$, получаем:

$f(-x) = \log_3 \left(\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1}\right) = -1 \cdot \log_3 \frac{1+\sin x}{1-\sin x} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.