Номер 18, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 18, страница 14.

Условие.

Найти наименьший положительный период функции (18–19).

18. 1) $y=\cos^2\frac{2}{5}x$; 2) $y=\sin\frac{3}{2}x$; 3) $y=\text{tg}\frac{x}{2}$; 4) $y=|\sin x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения наименьшего положительного периода функции $y = \cos^2\frac{2}{5}x$ воспользуемся общим правилом. Период функции вида $y = f(kx+b)$ равен $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $f(x)$.
Основной период функции $\cos x$ равен $2\pi$. При возведении в четную степень $n=2$ период уменьшается вдвое. Таким образом, основной период функции $g(x) = \cos^2 x$ равен $T_0 = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Это также можно увидеть из формулы понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Период функции $\cos(2x)$ равен $\frac{2\pi}{2}=\pi$.
В нашей функции $y = \cos^2(\frac{2}{5}x)$ коэффициент $k = \frac{2}{5}$.
Следовательно, наименьший положительный период равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{2}{5}|} = \frac{\pi}{\frac{2}{5}} = \frac{5\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{2}$.

2) Для функции $y = \sin^3\frac{3}{2}x$ наименьший положительный период находится по той же формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
Основной период функции $\sin x$ равен $2\pi$. При возведении в нечетную степень $n=3$ период не изменяется. Таким образом, основной период функции $g(x) = \sin^3 x$ равен $T_0 = 2\pi$.
В нашей функции $y = \sin^3(\frac{3}{2}x)$ коэффициент $k = \frac{3}{2}$.
Следовательно, наименьший положительный период равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

3) Для функции $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ наименьший положительный период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
Основной период функции $\operatorname{tg} x$ равен $T_0 = \pi$.
В нашей функции $y = \operatorname{tg}(\frac{1}{2}x)$ коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
Следовательно, наименьший положительный период равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

4) Для функции $y = |\sin x|$ наименьший положительный период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
Основной период функции $\sin x$ равен $2\pi$. Знак модуля отражает отрицательную часть графика функции симметрично относительно оси абсцисс, в результате чего период функции уменьшается вдвое. Таким образом, основной период функции $g(x) = |\sin x|$ равен $T_0 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
В нашей функции $y = |\sin x|$ коэффициент $k=1$.
Следовательно, наименьший положительный период равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.
Ответ: $\pi$.