Номер 22, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 22, страница 14.
№22 (с. 14)
Условие. №22 (с. 14)
скриншот условия

22. Доказать, что функция $y=\sin^4 x + \cos^4 x$ периодическая, и найти её наименьший положительный период.
Решение 1. №22 (с. 14)

Решение 2. №22 (с. 14)


Решение 3. №22 (с. 14)
Доказать, что функция $y=\sin^4 x + \cos^4 x$ периодическая
Для доказательства периодичности преобразуем исходное выражение функции. Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Возведём это тождество в квадрат:
$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2$
$\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1$
Отсюда можно выразить сумму четвёртых степеней:
$y = \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$
Теперь используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Возведя её в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x$, откуда $2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.
Подставим это в выражение для $y$:
$y = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$
Далее применим формулу понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Для нашего случая $\alpha = 2x$, поэтому $2\alpha = 4x$.
$y = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 - \cos(4x)}{2}\right) = 1 - \frac{1 - \cos(4x)}{4} = \frac{4 - (1 - \cos(4x))}{4} = \frac{3 + \cos(4x)}{4}$
Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.
Функция $f(x) = \cos(x)$ является периодической с периодом $2\pi$. Функция $g(x) = \cos(4x)$ также является периодической. Поскольку функция $y(x)$ является линейным преобразованием периодической функции $\cos(4x)$ (сдвиг и масштабирование по оси ординат), она также является периодической. Это доказывает, что функция периодическая.
Найти её наименьший положительный период
Как было показано выше, функция $y = \sin^4 x + \cos^4 x$ может быть представлена в виде $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.
Период этой функции совпадает с периодом функции $\cos(4x)$. Наименьший положительный период функции вида $\cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае коэффициент $k=4$, поэтому наименьший положительный период равен:
$T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
Ответ: Функция является периодической, её наименьший положительный период равен $\frac{\pi}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 22 расположенного на странице 14 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22 (с. 14), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.