Номер 22, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 22, страница 14.

Условие.

22. Доказать, что функция $y=\sin^4 x + \cos^4 x$ периодическая, и найти её наименьший положительный период.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Доказать, что функция $y=\sin^4 x + \cos^4 x$ периодическая

Для доказательства периодичности преобразуем исходное выражение функции. Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Возведём это тождество в квадрат:

$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2$

$\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1$

Отсюда можно выразить сумму четвёртых степеней:

$y = \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Возведя её в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x$, откуда $2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Подставим это в выражение для $y$:

$y = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$

Далее применим формулу понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Для нашего случая $\alpha = 2x$, поэтому $2\alpha = 4x$.

$y = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 - \cos(4x)}{2}\right) = 1 - \frac{1 - \cos(4x)}{4} = \frac{4 - (1 - \cos(4x))}{4} = \frac{3 + \cos(4x)}{4}$

Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.

Функция $f(x) = \cos(x)$ является периодической с периодом $2\pi$. Функция $g(x) = \cos(4x)$ также является периодической. Поскольку функция $y(x)$ является линейным преобразованием периодической функции $\cos(4x)$ (сдвиг и масштабирование по оси ординат), она также является периодической. Это доказывает, что функция периодическая.

Найти её наименьший положительный период

Как было показано выше, функция $y = \sin^4 x + \cos^4 x$ может быть представлена в виде $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.

Период этой функции совпадает с периодом функции $\cos(4x)$. Наименьший положительный период функции вида $\cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае коэффициент $k=4$, поэтому наименьший положительный период равен:

$T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: Функция является периодической, её наименьший положительный период равен $\frac{\pi}{2}$.