Номер 28, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 28, страница 19.

Условие.

Упражнения 28, 32—35 выполнить с помощью графика функции $y = \cos x$.

28. (Устно.) Выяснить, при каких значениях $x$, принадлежащих отрезку $[0; 3\pi]$, функция $y = \cos x$ принимает:

1) значение, равное 0, 1, –1;

2) положительные значения;

3) отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся графиком функции $y = \cos x$ на отрезке $[0; 3\pi]$. График представляет собой косинусоиду, которая на данном отрезке начинается в точке $(0; 1)$, достигает своего первого минимума в точке $(\pi; -1)$, затем максимума в $(2\pi; 1)$ и заканчивается в точке минимума $(3\pi; -1)$.

1) Выясним, при каких значениях $x$ функция принимает значения, равные 0, 1, -1.

• Значение, равное 0 ($y = \cos x = 0$), функция принимает в точках пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$). На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$ и $x = \frac{5\pi}{2}$.

• Значение, равное 1 ($y = \cos x = 1$), функция принимает в точках максимума. На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит в точках $x = 0$ и $x = 2\pi$.

• Значение, равное -1 ($y = \cos x = -1$), функция принимает в точках минимума. На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит в точках $x = \pi$ и $x = 3\pi$.

Ответ: $\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$; $\cos x = 1$ при $x = 0, 2\pi$; $\cos x = -1$ при $x = \pi, 3\pi$.

2) Выясним, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения.

Положительные значения ($\cos x > 0$) функция принимает на тех интервалах, где ее график расположен выше оси абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это следующие интервалы: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ и от $\frac{3\pi}{2}$ до $\frac{5\pi}{2}$. Включая точку $x=0$, так как $\cos(0) = 1 > 0$, и исключая точки, где косинус равен нулю.

Ответ: $\cos x > 0$ при $x \in [0; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2})$.

3) Выясним, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения.

Отрицательные значения ($\cos x < 0$) функция принимает на тех интервалах, где ее график расположен ниже оси абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это следующие интервалы: от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ и от $\frac{5\pi}{2}$ до $3\pi$. Включая точку $x=3\pi$, так как $\cos(3\pi) = -1 < 0$, и исключая точки, где косинус равен нулю.

Ответ: $\cos x < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{2}; 3\pi]$.