Номер 32, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 32, страница 20.

Условие.

32. (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция $y = \cos x$ на отрезке:

1) $[3\pi; 4\pi];$

2) $[-2\pi; -\pi];$

3) $[2\pi; \frac{5\pi}{2}];$

4) $[-\frac{\pi}{2}; 0];$

5) $[1; 3];$

6) $[-2; -1].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выяснить, возрастает или убывает функция $y = \cos x$ на заданном отрезке, можно использовать её производную. Производная функции косинуса равна $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Функция $y = \cos x$ возрастает на тех промежутках, где её производная $y' > 0$, то есть где $-\sin x > 0$, что эквивалентно $\sin x < 0$. Это выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число. С учетом непрерывности, отрезки возрастания функции — это $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$.

Функция $y = \cos x$ убывает на тех промежутках, где её производная $y' < 0$, то есть где $-\sin x < 0$, что эквивалентно $\sin x > 0$. Это выполняется для $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число. С учетом непрерывности, отрезки убывания функции — это $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$.

Проанализируем каждый из предложенных отрезков.

1) на отрезке $[3\pi; 4\pi]$
Данный отрезок соответствует промежутку $[\pi + 2\pi \cdot 1; 2\pi + 2\pi \cdot 1]$. Это отрезок вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$ при $k=1$. На таких отрезках функция $y = \cos x$ возрастает. Это также можно проверить с помощью производной: для $x \in [3\pi; 4\pi]$ значения $\sin x \le 0$, следовательно, производная $y' = -\sin x \ge 0$.
Ответ: возрастает.

2) на отрезке $[-2\pi; -\pi]$
Данный отрезок соответствует промежутку $[2\pi \cdot (-1); \pi + 2\pi \cdot (-1)]$. Это отрезок вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$ при $k=-1$. На таких отрезках функция $y = \cos x$ убывает. Для $x \in [-2\pi; -\pi]$ значения $\sin x \ge 0$, следовательно, производная $y' = -\sin x \le 0$.
Ответ: убывает.

3) на отрезке $[2\pi; \frac{5\pi}{2}]$
Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[2\pi; 3\pi]$. Так как $2\pi < \frac{5\pi}{2} < 3\pi$, то отрезок $[2\pi; \frac{5\pi}{2}]$ является частью отрезка $[2\pi; 3\pi]$. Следовательно, на этом отрезке функция также убывает. Для $x \in [2\pi; \frac{5\pi}{2}]$ угол находится в первой четверти (с учетом периодичности), где $\sin x > 0$, а значит производная $y' = -\sin x < 0$.
Ответ: убывает.

4) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$
Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[-\pi; 0]$. Так как $-\pi < -\frac{\pi}{2} < 0$, то отрезок $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ является частью отрезка $[-\pi; 0]$. Следовательно, на этом отрезке функция также возрастает. Для $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$ угол находится в четвертой четверти, где $\sin x < 0$, а значит производная $y' = -\sin x > 0$.
Ответ: возрастает.

5) на отрезке $[1; 3]$
Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; \pi] \approx [0; 3.14]$. Поскольку $0 < 1 < 3 < \pi$, отрезок $[1; 3]$ полностью содержится внутри отрезка убывания $[0; \pi]$. Для $x \in [1; 3]$ (в радианах) угол находится в первой или второй четверти, где $\sin x > 0$, значит производная $y' = -\sin x < 0$.
Ответ: убывает.

6) на отрезке $[-2; -1]$
Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[-\pi; 0] \approx [-3.14; 0]$. Поскольку $-\pi < -2 < -1 < 0$, отрезок $[-2; -1]$ полностью содержится внутри отрезка возрастания $[-\pi; 0]$. Для $x \in [-2; -1]$ (в радианах) угол находится в третьей или четвертой четверти, где $\sin x < 0$, значит производная $y' = -\sin x > 0$.
Ответ: возрастает.