Номер 25, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 25, страница 15.

Условие.

25. График функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, симметричен относительно точки $A(a; b)$ и прямой $x = c$ ($c \ne a$). Доказать, что функция $y = f(x)$ является периодической, и найти её период.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, график функции $y=f(x)$ симметричен относительно точки $A(a; b)$. Симметрия относительно точки $A(a; b)$ означает, что для любой точки $(x, f(x))$ на графике, точка $(2a-x, 2b-f(x))$, симметричная ей относительно $A$, также лежит на графике. Алгебраически это записывается как равенство: $f(2a - x) = 2b - f(x)$ или $f(x) + f(2a - x) = 2b$ (1)

Также по условию задачи, график функции $y=f(x)$ симметричен относительно прямой $x=c$. Симметрия относительно вертикальной прямой $x=c$ означает, что для любой точки $(x, f(x))$ на графике, точка $(2c-x, f(x))$, симметричная ей относительно этой прямой, также лежит на графике. Алгебраически это записывается как равенство: $f(x) = f(2c - x)$ (2)

Теперь воспользуемся обоими условиями для доказательства периодичности функции. Применим равенство (2) к аргументу $2a - x$ из равенства (1). Для этого в равенстве (2) заменим $x$ на $2a - x$: $f(2a - x) = f(2c - (2a - x)) = f(2c - 2a + x)$ Теперь у нас есть два выражения для $f(2a-x)$. Приравняем правые части выражений из равенства (1) и из полученного выше: $2b - f(x) = f(x + 2(c - a))$ Перенеся $f(x)$ в правую часть, получим: $f(x) + f(x + 2(c - a)) = 2b$ (3)

Это соотношение показывает связь между значениями функции в точках, отстоящих друг от друга на $2(c-a)$. Чтобы доказать периодичность, то есть найти такое число $T$, что $f(x+T)=f(x)$, применим соотношение (3) еще раз. Заменим в равенстве (3) переменную $x$ на $x + 2(c - a)$: $f(x + 2(c - a)) + f((x + 2(c - a)) + 2(c - a)) = 2b$ $f(x + 2(c - a)) + f(x + 4(c - a)) = 2b$ Из равенства (3) мы можем выразить $f(x + 2(c - a)) = 2b - f(x)$. Подставим это выражение в полученное выше равенство: $(2b - f(x)) + f(x + 4(c - a)) = 2b$ Вычитая $2b$ из обеих частей, получаем: $-f(x) + f(x + 4(c - a)) = 0$ Отсюда следует: $f(x + 4(c - a)) = f(x)$

Это равенство по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической. Периодом функции является число $T = 4(c - a)$. Так как по условию $c \neq a$, то период $T \neq 0$. Таким образом, мы доказали, что функция является периодической, и нашли ее период.

Ответ: Функция является периодической, её период равен $T = 4(c - a)$.