Номер 25, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 25, страница 15.

№25 (с. 15)
Условие. №25 (с. 15)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 15, номер 25, Условие

25. График функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, симметричен относительно точки $A(a; b)$ и прямой $x = c$ ($c \ne a$). Доказать, что функция $y = f(x)$ является периодической, и найти её период.

Решение 2. №25 (с. 15)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 15, номер 25, Решение 2
Решение 3. №25 (с. 15)

По условию задачи, график функции $y=f(x)$ симметричен относительно точки $A(a; b)$. Симметрия относительно точки $A(a; b)$ означает, что для любой точки $(x, f(x))$ на графике, точка $(2a-x, 2b-f(x))$, симметричная ей относительно $A$, также лежит на графике. Алгебраически это записывается как равенство: $f(2a - x) = 2b - f(x)$ или $f(x) + f(2a - x) = 2b$ (1)

Также по условию задачи, график функции $y=f(x)$ симметричен относительно прямой $x=c$. Симметрия относительно вертикальной прямой $x=c$ означает, что для любой точки $(x, f(x))$ на графике, точка $(2c-x, f(x))$, симметричная ей относительно этой прямой, также лежит на графике. Алгебраически это записывается как равенство: $f(x) = f(2c - x)$ (2)

Теперь воспользуемся обоими условиями для доказательства периодичности функции. Применим равенство (2) к аргументу $2a - x$ из равенства (1). Для этого в равенстве (2) заменим $x$ на $2a - x$: $f(2a - x) = f(2c - (2a - x)) = f(2c - 2a + x)$ Теперь у нас есть два выражения для $f(2a-x)$. Приравняем правые части выражений из равенства (1) и из полученного выше: $2b - f(x) = f(x + 2(c - a))$ Перенеся $f(x)$ в правую часть, получим: $f(x) + f(x + 2(c - a)) = 2b$ (3)

Это соотношение показывает связь между значениями функции в точках, отстоящих друг от друга на $2(c-a)$. Чтобы доказать периодичность, то есть найти такое число $T$, что $f(x+T)=f(x)$, применим соотношение (3) еще раз. Заменим в равенстве (3) переменную $x$ на $x + 2(c - a)$: $f(x + 2(c - a)) + f((x + 2(c - a)) + 2(c - a)) = 2b$ $f(x + 2(c - a)) + f(x + 4(c - a)) = 2b$ Из равенства (3) мы можем выразить $f(x + 2(c - a)) = 2b - f(x)$. Подставим это выражение в полученное выше равенство: $(2b - f(x)) + f(x + 4(c - a)) = 2b$ Вычитая $2b$ из обеих частей, получаем: $-f(x) + f(x + 4(c - a)) = 0$ Отсюда следует: $f(x + 4(c - a)) = f(x)$

Это равенство по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической. Периодом функции является число $T = 4(c - a)$. Так как по условию $c \neq a$, то период $T \neq 0$. Таким образом, мы доказали, что функция является периодической, и нашли ее период.

Ответ: Функция является периодической, её период равен $T = 4(c - a)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 25 расположенного на странице 15 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №25 (с. 15), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.