Номер 26, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 26, страница 15.

Условие.

26. Доказать, что функция $y = f(x)$ является периодической, если существует $T \neq 0$ такое, что для любых трёх значений $x$, $x+T$ и $x-T$ из области определения функции выполнено условие $f(x + T) = -f(x)$. Найти период функции $f$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, для функции $y=f(x)$ существует число $T \neq 0$ такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = -f(x)$. Также из условия следует, что если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T$, и $x-T$ тоже ей принадлежат.

Доказательство периодичности функции.

Для того чтобы доказать, что функция является периодической, необходимо показать, что существует такое число $P \neq 0$, называемое периодом, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+P) = f(x)$.

Рассмотрим значение функции в точке $x+2T$. Аргумент можно представить в виде $(x+T)+T$.

Применим данное в условии свойство $f(z+T) = -f(z)$, взяв в качестве $z$ выражение $(x+T)$:

$f(x+2T) = f((x+T)+T) = -f(x+T)$

Теперь в полученном равенстве заменим $f(x+T)$ на $-f(x)$ согласно исходному условию:

$f(x+2T) = -(-f(x)) = f(x)$

Мы получили равенство $f(x+2T) = f(x)$. Поскольку по условию $T \neq 0$, то и $P=2T \neq 0$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической.

Нахождение периода функции.

Из доказательства выше следует, что число $2T$ является периодом функции $f(x)$. Это значение является периодом для любой функции, удовлетворяющей исходному условию.

Наименьший положительный (основной) период функции, который мы обозначим $P_0$, может быть меньше, чем $|2T|$. В общем случае $2T$ должно быть кратно основному периоду, $2T=k \cdot P_0$ для некоторого целого $k$. Можно показать, что для нетривиальной функции ($f(x) \not\equiv 0$) число $k$ должно быть нечетным.

Без дополнительной информации о функции $f(x)$ мы не можем однозначно определить основной период. Однако, на основании только предоставленных данных, единственным значением, которое гарантированно является периодом, является $2T$.

Ответ: Функция является периодической, что доказывается равенством $f(x+2T) = f(x)$. Период функции равен $2T$.