Номер 24, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 24, страница 15.

Условие.

24. График функции $y=f(x)$, $x \in \mathbf{R}$, симметричен относительно каждой из прямых $x=a$, $x=b$, где $a \neq b$. Доказать, что $y=f(x)$ является периодической, и найти её период.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Доказательство периодичности и нахождение периода: Условие, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно вертикальной прямой $x=c$, означает, что для любой точки $x$ значение функции в точке, симметричной $x$ относительно $c$, будет таким же. Точка, симметричная $x$ относительно $c$, это $2c-x$. Таким образом, условие симметрии можно записать в виде равенства $f(x) = f(2c-x)$, которое выполняется для любого $x$ из области определения функции.
По условию задачи, график функции $f(x)$ симметричен относительно двух прямых: $x=a$ и $x=b$. Это дает нам два тождества:
1) $f(x) = f(2a - x)$
2) $f(x) = f(2b - x)$
Воспользуемся этими тождествами последовательно. Начнем с произвольного $x$ и применим первое свойство симметрии:
$f(x) = f(2a - x)$
Теперь к полученному выражению, а именно к функции от аргумента $(2a - x)$, применим второе свойство симметрии. Для этого в тождестве (2) заменим $x$ на $(2a - x)$:
$f(2a - x) = f(2b - (2a - x))$
Упростим выражение в аргументе функции справа:
$2b - (2a - x) = 2b - 2a + x = x + 2(b - a)$
Таким образом, мы можем составить следующую цепочку равенств:
$f(x) = f(2a - x) = f(x + 2(b - a))$
Из этой цепочки следует, что $f(x) = f(x + T)$, где $T = 2(b - a)$.
Поскольку по условию задачи $a \neq b$, то $T = 2(b - a) \neq 0$.
Равенство $f(x) = f(x + T)$ при $T \neq 0$, выполняющееся для всех $x$ из области определения, по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической.
Периодом функции является величина $T$. Так как период обычно принято считать положительным числом, то мы берем модуль найденного значения.
Ответ: функция является периодической, её период равен $T = 2|b - a|$.