Номер 17, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 17, страница 14.

Условие.

17. Доказать, что:

1) произведение и частное двух нечётных функций являются чётными функциями;

2) произведение и частное чётной и нечётной функций являются нечётными функциями.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства воспользуемся определениями чётной и нечётной функций. Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения обеих функций должна быть симметрична относительно нуля.

1) произведение и частное двух нечётных функций являются чётными функциями;

Пусть даны две нечётные функции $f(x)$ и $g(x)$. Согласно определению нечётной функции, для них выполняются следующие условия:

$f(-x) = -f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Рассмотрим их произведение $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$:

$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = h(x)$.

Поскольку $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является чётной.

Рассмотрим их частное $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (при условии, что $g(x) \neq 0$). Найдём значение этой функции в точке $-x$:

$q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{-g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} = q(x)$.

Поскольку $q(-x) = q(x)$, функция $q(x)$ также является чётной.

Ответ: Утверждение доказано.

2) произведение и частное чётной и нечётной функций являются нечётными функциями.

Пусть дана чётная функция $f(x)$ и нечётная функция $g(x)$. Согласно определениям, для них выполняются следующие условия:

$f(-x) = f(x)$ (чётная)

$g(-x) = -g(x)$ (нечётная)

Рассмотрим их произведение $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$:

$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = - (f(x) \cdot g(x)) = -h(x)$.

Поскольку $h(-x) = -h(x)$, функция $h(x)$ является нечётной.

Рассмотрим их частное. Возможны два случая:

а) Частное чётной и нечётной функции: $q_1(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (где $g(x) \neq 0$).

$q_1(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{-g(x)} = - \frac{f(x)}{g(x)} = -q_1(x)$.

Функция $q_1(x)$ является нечётной.

б) Частное нечётной и чётной функции: $q_2(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ (где $f(x) \neq 0$).

$q_2(-x) = \frac{g(-x)}{f(-x)} = \frac{-g(x)}{f(x)} = - \frac{g(x)}{f(x)} = -q_2(x)$.

Функция $q_2(x)$ также является нечётной.

В обоих случаях частное является нечётной функцией.

Ответ: Утверждение доказано.