Страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

14. Доказать, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $2\pi$, если:

1) $y = \cos x - 1$;

2) $y = \sin x + 1$;

3) $y = 3\sin x$;

4) $y = \frac{\cos x}{2}$;

5) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

6) $y = \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Для доказательства того, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T=2\pi$, необходимо для каждой функции проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$, то есть $f(x+2\pi) = f(x)$. Областью определения для всех указанных функций является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), поэтому если $x$ принадлежит области определения, то и $x+2\pi$ также принадлежит ей.

1)

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - 1$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) - 1$.

Используем свойство периодичности функции косинус, основной период которой равен $2\pi$: $\cos(z + 2\pi) = \cos z$.
Получаем: $f(x + 2\pi) = \cos x - 1$.

Так как $f(x) = \cos x - 1$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + 1$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + 1$.

Используем свойство периодичности функции синус, основной период которой равен $2\pi$: $\sin(z + 2\pi) = \sin z$.
Получаем: $f(x + 2\pi) = \sin x + 1$.

Так как $f(x) = \sin x + 1$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)

Рассмотрим функцию $f(x) = 3\sin x$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = 3\sin(x + 2\pi)$.

Используя периодичность синуса ($\sin(x + 2\pi) = \sin x$), получаем:
$f(x + 2\pi) = 3\sin x$.

Так как $f(x) = 3\sin x$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\cos x}{2}$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \frac{\cos(x + 2\pi)}{2}$.

Используя периодичность косинуса ($\cos(x + 2\pi) = \cos x$), получаем:
$f(x + 2\pi) = \frac{\cos x}{2}$.

Так как $f(x) = \frac{\cos x}{2}$, то мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5)

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \sin\left((x + 2\pi) - \frac{\pi}{4}\right)$.

Сгруппируем слагаемые в аргументе синуса:
$f(x + 2\pi) = \sin\left(\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi\right)$.

Поскольку синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, $\sin(z + 2\pi) = \sin z$. Пусть $z = x - \frac{\pi}{4}$. Тогда:
$f(x + 2\pi) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Таким образом, мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6)

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Найдем значение функции в точке $x + 2\pi$:
$f(x + 2\pi) = \cos\left((x + 2\pi) + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Сгруппируем слагаемые в аргументе косинуса:
$f(x + 2\pi) = \cos\left(\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\pi\right)$.

Поскольку косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, $\cos(z + 2\pi) = \cos z$. Пусть $z = x + \frac{2\pi}{3}$. Тогда:
$f(x + 2\pi) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Таким образом, мы показали, что $f(x + 2\pi) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

15. Доказать, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T$, если:

1) $y = \sin 2x, T = \pi;$

2) $y = \cos \frac{x}{2}, T = 4\pi;$

3) $y = \operatorname{tg} 2x, T = \frac{\pi}{2};$

4) $y = \sin \frac{4x}{5}, T = -\frac{5}{2}\pi.$

Для доказательства того, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T$, необходимо по определению проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

1) $y = \sin(2x)$, $T = \pi$.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Подставим $x+T$ в функцию:

$f(x+T) = f(x+\pi) = \sin(2(x+\pi)) = \sin(2x + 2\pi)$.

Функция синус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

Следовательно, $\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)$.

Равенство $f(x+\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\pi$ является периодом функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $y = \cos\frac{x}{2}$, $T = 4\pi$.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Подставим $x+T$ в функцию:

$f(x+T) = f(x+4\pi) = \cos(\frac{x+4\pi}{2}) = \cos(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \cos(\frac{x}{2} + 2\pi)$.

Функция косинус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$.

Следовательно, $\cos(\frac{x}{2} + 2\pi) = \cos(\frac{x}{2}) = f(x)$.

Равенство $f(x+4\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=4\pi$ является периодом функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $y = \operatorname{tg}(2x)$, $T = \frac{\pi}{2}$.

Область определения функции задается условием $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T = x+\frac{\pi}{2}$ также принадлежит ей. Подставим $x+T$ в функцию:

$f(x+T) = f(x+\frac{\pi}{2}) = \operatorname{tg}(2(x+\frac{\pi}{2})) = \operatorname{tg}(2x + \pi)$.

Функция тангенс имеет основной период $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \operatorname{tg}(\alpha)$ для любого $\alpha$ из области определения. В нашем случае $\alpha = 2x$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(2x + \pi) = \operatorname{tg}(2x) = f(x)$.

Равенство $f(x+\frac{\pi}{2}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $y = \sin\frac{4x}{5}$, $T = \frac{5}{2}\pi$.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Подставим $x+T$ в функцию:

$f(x+T) = f(x+\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{4}{5}(x+\frac{5\pi}{2})) = \sin(\frac{4x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{4x}{5} + 2\pi)$.

Функция синус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{4x}{5}$.

Следовательно, $\sin(\frac{4x}{5} + 2\pi) = \sin(\frac{4x}{5}) = f(x)$.

Равенство $f(x+\frac{5\pi}{2}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{5\pi}{2}$ является периодом функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

16. Определить, является ли данная функция чётной или нечётной:

1) $y = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$;

2) $y = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1 + \cos 2x}$;

3) $y = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x}$;

4) $y = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x}$;

5) $y = x |\sin x| \sin^3 x$;

6) $y = 3^{\cos x}$,

7) $y = x^2 \sin \frac{1}{x}$;

8) $y = \log_3 \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$.

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит ей).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ – функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ – функция является нечётной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $y = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$

Пусть $f(x) = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$.

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $1+\cos x \neq 0$, следовательно, $\cos x \neq -1$, что означает $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля, так как если $x$ не равен $\pi + 2\pi k$, то и $-x$ не равен $-(\pi + 2\pi k)$.

Теперь найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{1-\cos(-x)}{1+\cos(-x)}$

Используя свойство функции косинус $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$f(-x) = \frac{1-\cos x}{1+\cos x} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $y = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1+\cos 2x}$

Пусть $f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1+\cos 2x}$. Упростим выражение: $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ и $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$.

$f(x) = \frac{|\sin x|}{2\cos^2 x}$

Область определения: $1+\cos 2x \neq 0$, то есть $\cos 2x \neq -1$, $2x \neq \pi + 2\pi k$, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{|\sin(-x)|}{1+\cos(2(-x))} = \frac{|-\sin x|}{1+\cos(2x)} = \frac{|\sin x|}{1+\cos 2x} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $y = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x}$

Пусть $f(x) = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x}$.

Область определения: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos(2(-x)) - (-x)^2}{\sin(-x)} = \frac{\cos(2x) - x^2}{-\sin x} = - \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

4) $y = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x}$

Пусть $f(x) = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x}$.

Область определения: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 + \sin(2(-x))}{\cos(-x)} = \frac{-x^3 - \sin(2x)}{\cos x} = - \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

5) $y = x |\sin x| \sin^3 x$

Пусть $f(x) = x |\sin x| \sin^3 x$.

Область определения - все действительные числа $\mathbb{R}$, она симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) |\sin(-x)| \sin^3(-x) = (-x) |-\sin x| (-\sin x)^3 = (-x) |\sin x| (-\sin^3 x) = x |\sin x| \sin^3 x = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

6) $y = 3^{\cos x}$

Пусть $f(x) = 3^{\cos x}$.

Область определения - все действительные числа $\mathbb{R}$, она симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = 3^{\cos(-x)} = 3^{\cos x} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

7) $y = x^2 \sin \frac{1}{x}$

Пусть $f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$.

Область определения: $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \sin\left(\frac{1}{-x}\right) = x^2 \sin\left(-\frac{1}{x}\right) = x^2 \left(-\sin\frac{1}{x}\right) = -x^2 \sin\frac{1}{x} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

8) $y = \log_3 \frac{1+\sin x}{1-\sin x}$

Пусть $f(x) = \log_3 \frac{1+\sin x}{1-\sin x}$.

Область определения: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $\frac{1+\sin x}{1-\sin x} > 0$. Это неравенство выполняется, когда $-1 < \sin x < 1$. То есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \log_3 \frac{1+\sin(-x)}{1-\sin(-x)} = \log_3 \frac{1-\sin x}{1+\sin x}$

Используя свойство логарифма $\log_a \frac{b}{c} = -\log_a \frac{c}{b}$, получаем:

$f(-x) = \log_3 \left(\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-1}\right) = -1 \cdot \log_3 \frac{1+\sin x}{1-\sin x} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

17. Доказать, что:

1) произведение и частное двух нечётных функций являются чётными функциями;

2) произведение и частное чётной и нечётной функций являются нечётными функциями.

Для доказательства воспользуемся определениями чётной и нечётной функций. Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения обеих функций должна быть симметрична относительно нуля.

1) произведение и частное двух нечётных функций являются чётными функциями;

Пусть даны две нечётные функции $f(x)$ и $g(x)$. Согласно определению нечётной функции, для них выполняются следующие условия:

$f(-x) = -f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Рассмотрим их произведение $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$:

$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = h(x)$.

Поскольку $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является чётной.

Рассмотрим их частное $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (при условии, что $g(x) \neq 0$). Найдём значение этой функции в точке $-x$:

$q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{-g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} = q(x)$.

Поскольку $q(-x) = q(x)$, функция $q(x)$ также является чётной.

Ответ: Утверждение доказано.

2) произведение и частное чётной и нечётной функций являются нечётными функциями.

Пусть дана чётная функция $f(x)$ и нечётная функция $g(x)$. Согласно определениям, для них выполняются следующие условия:

$f(-x) = f(x)$ (чётная)

$g(-x) = -g(x)$ (нечётная)

Рассмотрим их произведение $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$:

$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = - (f(x) \cdot g(x)) = -h(x)$.

Поскольку $h(-x) = -h(x)$, функция $h(x)$ является нечётной.

Рассмотрим их частное. Возможны два случая:

а) Частное чётной и нечётной функции: $q_1(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (где $g(x) \neq 0$).

$q_1(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{-g(x)} = - \frac{f(x)}{g(x)} = -q_1(x)$.

Функция $q_1(x)$ является нечётной.

б) Частное нечётной и чётной функции: $q_2(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ (где $f(x) \neq 0$).

$q_2(-x) = \frac{g(-x)}{f(-x)} = \frac{-g(x)}{f(x)} = - \frac{g(x)}{f(x)} = -q_2(x)$.

Функция $q_2(x)$ также является нечётной.

В обоих случаях частное является нечётной функцией.

Ответ: Утверждение доказано.

Найти наименьший положительный период функции (18–19).

18. 1) $y=\cos^2\frac{2}{5}x$; 2) $y=\sin\frac{3}{2}x$; 3) $y=\text{tg}\frac{x}{2}$; 4) $y=|\sin x|$.

1) Для нахождения наименьшего положительного периода функции $y = \cos^2\frac{2}{5}x$ воспользуемся общим правилом. Период функции вида $y = f(kx+b)$ равен $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $f(x)$.
Основной период функции $\cos x$ равен $2\pi$. При возведении в четную степень $n=2$ период уменьшается вдвое. Таким образом, основной период функции $g(x) = \cos^2 x$ равен $T_0 = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Это также можно увидеть из формулы понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Период функции $\cos(2x)$ равен $\frac{2\pi}{2}=\pi$.
В нашей функции $y = \cos^2(\frac{2}{5}x)$ коэффициент $k = \frac{2}{5}$.
Следовательно, наименьший положительный период равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{2}{5}|} = \frac{\pi}{\frac{2}{5}} = \frac{5\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{2}$.

2) Для функции $y = \sin^3\frac{3}{2}x$ наименьший положительный период находится по той же формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
Основной период функции $\sin x$ равен $2\pi$. При возведении в нечетную степень $n=3$ период не изменяется. Таким образом, основной период функции $g(x) = \sin^3 x$ равен $T_0 = 2\pi$.
В нашей функции $y = \sin^3(\frac{3}{2}x)$ коэффициент $k = \frac{3}{2}$.
Следовательно, наименьший положительный период равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

3) Для функции $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ наименьший положительный период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
Основной период функции $\operatorname{tg} x$ равен $T_0 = \pi$.
В нашей функции $y = \operatorname{tg}(\frac{1}{2}x)$ коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
Следовательно, наименьший положительный период равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

4) Для функции $y = |\sin x|$ наименьший положительный период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
Основной период функции $\sin x$ равен $2\pi$. Знак модуля отражает отрицательную часть графика функции симметрично относительно оси абсцисс, в результате чего период функции уменьшается вдвое. Таким образом, основной период функции $g(x) = |\sin x|$ равен $T_0 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
В нашей функции $y = |\sin x|$ коэффициент $k=1$.
Следовательно, наименьший положительный период равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

19. 1) $y = \sin x + \cos x;$

2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x;$

3) $y = \sin x \cdot \sin 3x;$

4) $y = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2} - 3\operatorname{tg}\frac{x}{3}.$

1) $y = \sin x + \cos x$

Чтобы найти основной (наименьший положительный) период функции, являющейся суммой двух периодических функций, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их периодов.

Функция $f_1(x) = \sin x$ имеет основной период $T_1 = 2\pi$.

Функция $f_2(x) = \cos x$ имеет основной период $T_2 = 2\pi$.

Основной период функции $y = \sin x + \cos x$ равен НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(2\pi, 2\pi) = 2\pi$.

Альтернативный способ решения — преобразовать выражение с помощью метода вспомогательного угла:

$y = \sin x + \cos x = \sqrt{1^2+1^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x \right)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$y = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Основной период функции $y = A \sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=1$, поэтому период равен $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$

Найдем периоды каждого слагаемого.

Функция $f_1(x) = \sin x$ имеет основной период $T_1 = 2\pi$.

Функция $f_2(x) = \operatorname{tg} x$ имеет основной период $T_2 = \pi$.

Основной период функции $y$ равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых:

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, \pi)$.

Так как $2\pi$ делится нацело на $\pi$ ($2\pi = 2 \cdot \pi$), то НОК этих чисел равно $2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

3) $y = \sin x \cdot \sin 3x$

Для нахождения периода преобразуем произведение синусов в сумму с помощью формулы:

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

Применим эту формулу к нашей функции:

$y = \sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2}(\cos(x-3x) - \cos(x+3x)) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) - \cos(4x))$.

Так как функция косинуса четная, $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Тогда:

$y = \frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}\cos(4x)$.

Теперь найдем периоды для каждого слагаемого. Период функции $\cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для слагаемого $f_1(x) = \frac{1}{2}\cos(2x)$ период $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Для слагаемого $f_2(x) = -\frac{1}{2}\cos(4x)$ период $T_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Основной период исходной функции равен НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(\pi, \frac{\pi}{2}) = \pi$.

Ответ: $\pi$.

4) $y = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2} - 3\operatorname{tg}\frac{x}{3}$

Найдем периоды для каждого слагаемого. Период функции $\operatorname{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для слагаемого $f_1(x) = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2}$, где $k = \frac{1}{2}$, период $T_1 = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$.

Для слагаемого $f_2(x) = -3\operatorname{tg}\frac{x}{3}$, где $k = \frac{1}{3}$, период $T_2 = \frac{\pi}{|1/3|} = 3\pi$.

Основной период исходной функции равен НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(2\pi, 3\pi) = 6\pi$.

Ответ: $6\pi$.

20. Выяснить, является ли периодической функция:

1) $y = \sqrt{\sin x}$;

2) $y = \sin \sqrt{x}$;

3) $y = |\sin |x||$.

1) $y = \sqrt{\sin x}$

Для того чтобы выяснить, является ли функция периодической, она должна удовлетворять определению периодической функции. Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняются два условия:
1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Сначала найдем область определения $D(y)$ для функции $y = \sqrt{\sin x}$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\sin x \ge 0$
Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих отрезкам вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, область определения $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Она состоит из бесконечного набора изолированных друг от друга отрезков.

Проверим, является ли число $T = 2\pi$ периодом функции, так как это основной период для функции $\sin x$.
1. Проверим условие для области определения. Если $x \in D(y)$, то $x$ принадлежит некоторому отрезку $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Тогда точка $x + 2\pi$ будет принадлежать отрезку $[2\pi k + 2\pi, \pi + 2\pi k + 2\pi]$, то есть $[2\pi (k+1), \pi + 2\pi (k+1)]$. Этот отрезок также входит в область определения функции. Аналогично для $x-2\pi$. Условие выполняется.
2. Проверим равенство значений функции:
$y(x + 2\pi) = \sqrt{\sin(x + 2\pi)} = \sqrt{\sin x} = y(x)$.
Равенство выполняется для всех $x$ из области определения.

Поскольку оба условия выполнены, функция является периодической. Наименьший положительный период равен $2\pi$.
Ответ: функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.

2) $y = \sin\sqrt{x}$

Найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$.
Область определения $D(y) = [0, +\infty)$.

Согласно определению периодической функции, если функция имеет период $T > 0$, то для любой точки $x$ из ее области определения точка $x-T$ также должна принадлежать области определения.
Возьмем точку $x=0$, которая принадлежит $D(y)$. Если бы функция была периодической с некоторым периодом $T>0$, то точка $x-T = 0-T = -T$ также должна была бы входить в область определения. Однако $-T < 0$, поэтому точка $-T$ не принадлежит $D(y) = [0, +\infty)$.
Так как одно из ключевых условий периодичности не выполняется, функция не является периодической.

Дополнительно можно проанализировать расстояние между нулями функции. Нули функции находятся в точках, где $\sin\sqrt{x} = 0$:
$\sqrt{x} = \pi k$, где $k=0, 1, 2, \dots$ (так как $\sqrt{x} \ge 0$).
$x_k = (\pi k)^2 = \pi^2 k^2$.
Расстояния между соседними нулями:
$x_1 - x_0 = \pi^2 - 0 = \pi^2$.
$x_2 - x_1 = 4\pi^2 - \pi^2 = 3\pi^2$.
$x_3 - x_2 = 9\pi^2 - 4\pi^2 = 5\pi^2$.
Расстояния между последовательными нулями не постоянны, что также подтверждает, что функция не является периодической.
Ответ: функция не является периодической.

3) $y = |\sin|x||$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$, так как модуль и синус определены для любых действительных чисел.

Преобразуем выражение $y = |\sin|x||$.
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = |\sin x|$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = |\sin(-x)|$. Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-u) = -\sin u$), получаем $y = |-\sin x|$. Так как модуль отрицательного числа равен модулю положительного ($|-a| = |a|$), то $y = |\sin x|$.
Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется тождество $|\sin|x|| = |\sin x|$.

Следовательно, задача сводится к анализу периодичности функции $y = |\sin x|$.
Функция $\sin x$ имеет основной период $2\pi$. Проверим, какой период у функции $y = |\sin x|$. Попробуем $T = \pi$.
$y(x+\pi) = |\sin(x+\pi)|$.
Используя формулу приведения $\sin(x+\pi) = -\sin x$, получаем:
$|\sin(x+\pi)| = |-\sin x| = |\sin x| = y(x)$.
Равенство $y(x+\pi) = y(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Область определения $\mathbb{R}$ также удовлетворяет условию периодичности. Значит, функция $y = |\sin x|$ (и, соответственно, исходная функция $y = |\sin|x||$) является периодической.

Число $\pi$ является наименьшим положительным периодом.
Ответ: функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.

21. Доказать, что функция не является периодической:

1) $y = \sin \sqrt{|x|}$;

2) $y = \sin x + \sin \sqrt{2}x$.

1) $y = \sin(\sqrt{|x|})$

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что функция $f(x) = \sin(\sqrt{|x|})$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$.

По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения (в данном случае, для любого $x \in \mathbb{R}$) должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим нули функции. Функция обращается в ноль, когда её аргумент равен $n\pi$, где $n$ — целое неотрицательное число.
$\sqrt{|x|} = n\pi \implies |x| = (n\pi)^2$.

Рассмотрим значение функции в точке $x=0$.
$f(0) = \sin(\sqrt{|0|}) = \sin(0) = 0$.

Из предположения о периодичности с периодом $T$ следует, что $f(kT) = f(0) = 0$ для любого целого $k$.
В частности, для $k=1$, имеем $f(T) = 0$.
$f(T) = \sin(\sqrt{|T|}) = \sin(\sqrt{T})$ (так как $T>0$).
$\sin(\sqrt{T}) = 0 \implies \sqrt{T} = n_1 \pi$ для некоторого целого $n_1 \ge 1$ (поскольку $T>0$).
Отсюда $T = (n_1\pi)^2$.

Теперь рассмотрим $k=2$. Имеем $f(2T) = 0$.
$f(2T) = \sin(\sqrt{|2T|}) = \sin(\sqrt{2T})$.
$\sin(\sqrt{2T}) = 0 \implies \sqrt{2T} = n_2 \pi$ для некоторого целого $n_2 \ge 1$.
Отсюда $2T = (n_2\pi)^2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для $T$:
$T = (n_1\pi)^2$
$2T = (n_2\pi)^2$

Подставим выражение для $T$ из первого уравнения во второе:
$2(n_1\pi)^2 = (n_2\pi)^2$
$2n_1^2\pi^2 = n_2^2\pi^2$

Разделим обе части на $\pi^2 \neq 0$:
$2n_1^2 = n_2^2$
$\frac{n_2^2}{n_1^2} = 2 \implies \frac{n_2}{n_1} = \sqrt{2}$

Мы получили, что отношение двух целых чисел $n_2$ и $n_1$ равно иррациональному числу $\sqrt{2}$, что невозможно. Это противоречие доказывает, что наше исходное предположение о периодичности функции было неверным.

Ответ: Функция не является периодической.

2) $y = \sin x + \sin(\sqrt{2}x)$

Докажем от противного. Предположим, что функция $f(x) = \sin x + \sin(\sqrt{2}x)$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$.

Если дифференцируемая функция периодична, то и её производные являются периодическими функциями с тем же периодом. Найдём вторую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x + \sin(\sqrt{2}x)) = \cos x + \sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x)$

$f''(x) = \frac{d}{dx}(\cos x + \sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x)) = -\sin x - 2\sin(\sqrt{2}x)$

Поскольку $f(x)$ и $f''(x)$ должны быть периодическими с периодом $T$, то их линейная комбинация также будет периодической функцией с периодом $T$. Рассмотрим функцию $H(x) = f(x) + f''(x)$:

$H(x) = (\sin x + \sin(\sqrt{2}x)) + (-\sin x - 2\sin(\sqrt{2}x)) = -\sin(\sqrt{2}x)$

Следовательно, функция $y = -\sin(\sqrt{2}x)$ также должна быть периодической с периодом $T$. Это означает, что для любого $x$ выполняется равенство $\sin(\sqrt{2}(x+T)) = \sin(\sqrt{2}x)$. Основной период функции $\sin(\sqrt{2}x)$ равен $\frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\pi$. Любой её период $T$ должен быть кратен основному, то есть $T = m \cdot \sqrt{2}\pi$ для некоторого ненулевого целого числа $m$.

Теперь вернёмся к исходной функции $f(x)$. Так как $f(0) = \sin 0 + \sin 0 = 0$, то из предположения о периодичности следует, что $f(T) = f(0) = 0$.

Таким образом, $\sin T + \sin(\sqrt{2}T) = 0$.

Подставим в это равенство найденное соотношение $T = m\sqrt{2}\pi$. Второй член равенства обращается в ноль:
$\sin(\sqrt{2}T) = \sin(\sqrt{2} \cdot m\sqrt{2}\pi) = \sin(2m\pi) = 0$.

Тогда равенство $\sin T + \sin(\sqrt{2}T) = 0$ превращается в $\sin T + 0 = 0$, откуда $\sin T = 0$.

Это означает, что период $T$ должен быть кратен $\pi$, то есть $T = k\pi$ для некоторого ненулевого целого числа $k$.

Итак, мы получили два различных выражения для одного и того же периода $T$:
$T = m\sqrt{2}\pi$
$T = k\pi$

Приравняем их:
$m\sqrt{2}\pi = k\pi$

Поскольку $T > 0$, мы можем разделить обе части на $\pi \neq 0$:
$m\sqrt{2} = k \implies \sqrt{2} = \frac{k}{m}$

Это равенство является противоречием, так как иррациональное число $\sqrt{2}$ не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел $k$ и $m$. Следовательно, наше предположение о периодичности функции неверно.

Ответ: Функция не является периодической.

22. Доказать, что функция $y=\sin^4 x + \cos^4 x$ периодическая, и найти её наименьший положительный период.

Доказать, что функция $y=\sin^4 x + \cos^4 x$ периодическая

Для доказательства периодичности преобразуем исходное выражение функции. Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Возведём это тождество в квадрат:

$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2$

$\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1$

Отсюда можно выразить сумму четвёртых степеней:

$y = \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Возведя её в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x$, откуда $2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Подставим это в выражение для $y$:

$y = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$

Далее применим формулу понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Для нашего случая $\alpha = 2x$, поэтому $2\alpha = 4x$.

$y = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 - \cos(4x)}{2}\right) = 1 - \frac{1 - \cos(4x)}{4} = \frac{4 - (1 - \cos(4x))}{4} = \frac{3 + \cos(4x)}{4}$

Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.

Функция $f(x) = \cos(x)$ является периодической с периодом $2\pi$. Функция $g(x) = \cos(4x)$ также является периодической. Поскольку функция $y(x)$ является линейным преобразованием периодической функции $\cos(4x)$ (сдвиг и масштабирование по оси ординат), она также является периодической. Это доказывает, что функция периодическая.

Найти её наименьший положительный период

Как было показано выше, функция $y = \sin^4 x + \cos^4 x$ может быть представлена в виде $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.

Период этой функции совпадает с периодом функции $\cos(4x)$. Наименьший положительный период функции вида $\cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае коэффициент $k=4$, поэтому наименьший положительный период равен:

$T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: Функция является периодической, её наименьший положительный период равен $\frac{\pi}{2}$.

23. Доказать, что функция периодическая, и найти её наименьший положительный период:

1) $y = \sin (\cos x)$;

2) $y = \cos (\sin x)$.

1) Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sin(\cos x)$. Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$).

Сначала докажем, что функция является периодической. Внутренняя функция $g(x) = \cos x$ имеет наименьший положительный период $2\pi$. Проверим, является ли $T=2\pi$ периодом для функции $f(x)$:

$f(x+2\pi) = \sin(\cos(x+2\pi)) = \sin(\cos x) = f(x)$.

Равенство выполняется для любого $x$, следовательно, функция $f(x)$ периодическая, и $2\pi$ является её периодом.

Теперь найдем наименьший положительный период. Обозначим его $T_0$.

Проверим, является ли $T=\pi$ периодом:

$f(x+\pi) = \sin(\cos(x+\pi)) = \sin(-\cos x) = -\sin(\cos x) = -f(x)$.

Так как $f(x+\pi) = -f(x)$, а не $f(x)$ (например, при $x=0$, $f(0)=\sin(1) \neq 0$), то $\pi$ не является периодом функции.

Предположим, что $T_0$ — наименьший положительный период. Тогда по определению должно выполняться равенство $f(x+T_0) = f(x)$ для всех $x$. Возьмем $x=0$:

$f(T_0) = f(0) \implies \sin(\cos T_0) = \sin(\cos 0) = \sin(1)$.

Это равенство возможно в двух случаях:

1) $\cos T_0 = 1 + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

2) $\cos T_0 = \pi - 1 + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то в первом случае единственное решение достигается при $k=0$, откуда $\cos T_0 = 1$. Наименьшее положительное значение $T_0$, удовлетворяющее этому условию, есть $T_0 = 2\pi$. Во втором случае решений нет, так как $|\pi - 1 + 2k\pi| > 1$ для любого целого $k$.

Таким образом, наименьший возможный положительный период, который следует из условия $f(T_0) = f(0)$, равен $2\pi$. Так как мы уже показали, что $2\pi$ является периодом, то это и есть наименьший положительный период. Ответ: $2\pi$.

2) Рассмотрим функцию $y = g(x) = \cos(\sin x)$. Область определения функции — все действительные числа ($D(g) = \mathbb{R}$).

Сначала докажем, что функция является периодической. Внутренняя функция $h(x) = \sin x$ имеет наименьший положительный период $2\pi$. Проверим, является ли $T=\pi$ периодом для функции $g(x)$:

$g(x+\pi) = \cos(\sin(x+\pi)) = \cos(-\sin x)$.

Поскольку функция косинус является четной, то есть $\cos(-u) = \cos u$, получаем:

$g(x+\pi) = \cos(\sin x) = g(x)$.

Равенство выполняется для любого $x$, следовательно, функция $g(x)$ периодическая, и $\pi$ является её периодом.

Теперь найдем наименьший положительный период, обозначим его $T_0$. Мы уже знаем, что $\pi$ — это период, поэтому $0 < T_0 \le \pi$.

Предположим, что $T_0$ — наименьший положительный период. Тогда по определению должно выполняться равенство $g(x+T_0) = g(x)$ для всех $x$. Возьмем $x=0$:

$g(T_0) = g(0) \implies \cos(\sin T_0) = \cos(\sin 0) = \cos(0) = 1$.

Это равенство возможно, если $\sin T_0 = 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Так как область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, единственное решение достигается при $k=0$, откуда $\sin T_0 = 0$.

Наименьшее положительное значение $T_0$, удовлетворяющее этому условию, есть $T_0 = \pi$.

Поскольку мы показали, что $\pi$ является периодом, и в то же время любой период $T_0$ должен быть кратен $\pi$, то наименьший положительный период равен $\pi$. Ответ: $\pi$.