Страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Найти область определения функции:

1) $y = \sin 2x$;

2) $y = \cos \frac{x}{2}$;

3) $y = \cos \frac{1}{x}$;

4) $y = \sin^2 \frac{2}{x}$;

5) $y = \sin \sqrt{x}$;

6) $y = \cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$.

1) $y = \sin 2x$

Область определения функции синус ($y=\sin a$) — это все действительные числа, то есть $a \in \mathbb{R}$. В данном случае аргументом синуса является выражение $2x$. Это выражение определено для любого действительного значения $x$. Следовательно, область определения функции $y = \sin 2x$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) $y = \cos \frac{x}{2}$

Область определения функции косинус ($y=\cos a$) — это все действительные числа, то есть $a \in \mathbb{R}$. В данном случае аргументом косинуса является выражение $\frac{x}{2}$. Это выражение определено для любого действительного значения $x$. Следовательно, область определения функции $y = \cos \frac{x}{2}$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) $y = \cos \frac{1}{x}$

Функция косинус определена для любого действительного аргумента. Однако, ее аргумент, выражение $\frac{1}{x}$, определен не для всех $x$. Так как деление на ноль не определено, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Таким образом, $x \neq 0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) $y = \sin^2 \frac{2}{x}$

Данная функция является композицией нескольких функций. Область определения зависит от аргумента функции синус, то есть от выражения $\frac{2}{x}$. Это выражение определено при всех значениях $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. Таким образом, $x \neq 0$. Возведение в квадрат не накладывает дополнительных ограничений на область определения.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

5) $y = \sin \sqrt{x}$

Функция синус определена для любого действительного аргумента. Однако, ее аргумент, выражение $\sqrt{x}$, определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

6) $y = \cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

Функция косинус определена для любого действительного аргумента. Ее аргумент содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Также знаменатель дроби под корнем не должен быть равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \frac{x-1}{x+1} \ge 0 \\ x+1 \neq 0 \end{cases}$

Из второго условия следует, что $x \neq -1$.

Для решения неравенства $\frac{x-1}{x+1} \ge 0$ используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$; $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Отметим точки $-1$ и $1$ на числовой прямой. Точка $x=1$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ исключается (знаменатель не равен нулю).

Определим знаки выражения $\frac{x-1}{x+1}$ на полученных интервалах:

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$.
• При $x \in (-1; 1)$, например $x=0$: $\frac{0-1}{0+1} = -1 < 0$.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$: $\frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3} > 0$.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно. Это объединение $(-\infty; -1)$ и $[1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup [1; +\infty)$.

2. Найти множество значений функции:

1) $y = 1 + \sin x;$

2) $y = 1 - \cos x;$

3) $y = 2\sin x + 3;$

4) $y = 1 - 4\cos 2x;$

5) $y = \sin 2x \cos 2x + 2;$

6) $y = \frac{1}{2}\sin x \cos x - 1.$

1) Для функции $y = 1 + \sin x$ мы используем свойство функции синуса. Множество значений функции $f(x)=\sin x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Чтобы найти множество значений для $y$, прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:
$1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$
$0 \le y \le 2$
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[0; 2]$.
Ответ: $E(y) = [0; 2]$.

2) Для функции $y = 1 - \cos x$ мы используем свойство функции косинуса. Множество значений функции $f(x)=\cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Сначала умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$-1 \cdot (-1) \ge -\cos x \ge -1 \cdot 1$
$1 \ge -\cos x \ge -1$, что равносильно $-1 \le -\cos x \le 1$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 + (-1) \le 1 - \cos x \le 1 + 1$
$0 \le y \le 2$
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[0; 2]$.
Ответ: $E(y) = [0; 2]$.

3) Для функции $y = 2\sin x + 3$. Множество значений функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$.
Умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot (-1) \le 2\sin x \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2\sin x \le 2$
Теперь прибавим 3 ко всем частям:
$-2 + 3 \le 2\sin x + 3 \le 2 + 3$
$1 \le y \le 5$
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[1; 5]$.
Ответ: $E(y) = [1; 5]$.

4) Для функции $y = 1 - 4\cos 2x$. Множество значений функции $f(x)=\cos 2x$ также является отрезком $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos 2x \le 1$.
Умножим все части неравенства на -4, меняя знаки неравенства:
$-4 \cdot (-1) \ge -4\cos 2x \ge -4 \cdot 1$
$4 \ge -4\cos 2x \ge -4$, что равносильно $-4 \le -4\cos 2x \le 4$.
Прибавим 1 ко всем частям:
$1 + (-4) \le 1 - 4\cos 2x \le 1 + 4$
$-3 \le y \le 5$
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-3; 5]$.
Ответ: $E(y) = [-3; 5]$.

5) Для функции $y = \sin 2x \cos 2x + 2$. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Отсюда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Применив эту формулу для $\alpha = 2x$, получаем:
$\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2}\sin(4x)$
Тогда исходная функция принимает вид: $y = \frac{1}{2}\sin 4x + 2$.
Множество значений функции $\sin 4x$ — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin 4x \le 1$.
Умножим на $\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 4x \le \frac{1}{2}$.
Прибавим 2: $2 - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 4x + 2 \le 2 + \frac{1}{2}$.
$\frac{3}{2} \le y \le \frac{5}{2}$, или $1.5 \le y \le 2.5$.
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[1.5; 2.5]$.
Ответ: $E(y) = [1.5; 2.5]$.

6) Для функции $y = \frac{1}{2}\sin x \cos x - 1$. Снова используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$.
Подставим это в нашу функцию:
$y = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) - 1 = \frac{1}{4}\sin 2x - 1$.
Множество значений функции $\sin 2x$ — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin 2x \le 1$.
Умножим на $\frac{1}{4}$: $-\frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\sin 2x \le \frac{1}{4}$.
Вычтем 1: $-\frac{1}{4} - 1 \le \frac{1}{4}\sin 2x - 1 \le \frac{1}{4} - 1$.
$-\frac{5}{4} \le y \le -\frac{3}{4}$, или $-1.25 \le y \le -0.75$.
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-1.25; -0.75]$.
Ответ: $E(y) = [-1.25; -0.75]$.

3. Найти область определения функции:

1) $y = \frac{1}{\cos x}$;

2) $y = \frac{2}{\sin x}$;

3) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$;

4) $y = \operatorname{tg} 5x$.

1) Область определения функции $y = \frac{1}{\cos x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. То есть, $\cos x \neq 0$.

Решаем уравнение $\cos x = 0$. Его решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Следовательно, область определения функции - это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $y = \frac{2}{\sin x}$ знаменатель также не должен быть равен нулю. То есть, $\sin x \neq 0$.

Решаем уравнение $\sin x = 0$. Его решениями являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, область определения функции - это все действительные числа, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Функция тангенса $\text{tg} z$ по определению равна $\frac{\sin z}{\cos z}$. Она не определена, когда знаменатель $\cos z = 0$.

В данном случае $y = \text{tg}\frac{x}{3}$, поэтому $z = \frac{x}{3}$. Условие существования функции: $\cos \frac{x}{3} \neq 0$.

Находим значения, при которых $\cos \frac{x}{3} = 0$. Это происходит, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножаем обе части на 3, чтобы выразить $x$:

$x = 3 \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения - все действительные числа, за исключением этих значений.

Ответ: $x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Аналогично предыдущему пункту, функция $y = \text{tg}(5x)$ не определена, когда косинус ее аргумента равен нулю.

Условие существования функции: $\cos (5x) \neq 0$.

Находим значения, при которых $\cos (5x) = 0$. Это происходит, когда аргумент $5x$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Делим обе части на 5, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции - все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.