Номер 1, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 1, страница 8.

Условие.

1. Найти область определения функции:

1) $y = \sin 2x$;

2) $y = \cos \frac{x}{2}$;

3) $y = \cos \frac{1}{x}$;

4) $y = \sin^2 \frac{2}{x}$;

5) $y = \sin \sqrt{x}$;

6) $y = \cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \sin 2x$

Область определения функции синус ($y=\sin a$) — это все действительные числа, то есть $a \in \mathbb{R}$. В данном случае аргументом синуса является выражение $2x$. Это выражение определено для любого действительного значения $x$. Следовательно, область определения функции $y = \sin 2x$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) $y = \cos \frac{x}{2}$

Область определения функции косинус ($y=\cos a$) — это все действительные числа, то есть $a \in \mathbb{R}$. В данном случае аргументом косинуса является выражение $\frac{x}{2}$. Это выражение определено для любого действительного значения $x$. Следовательно, область определения функции $y = \cos \frac{x}{2}$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) $y = \cos \frac{1}{x}$

Функция косинус определена для любого действительного аргумента. Однако, ее аргумент, выражение $\frac{1}{x}$, определен не для всех $x$. Так как деление на ноль не определено, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Таким образом, $x \neq 0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) $y = \sin^2 \frac{2}{x}$

Данная функция является композицией нескольких функций. Область определения зависит от аргумента функции синус, то есть от выражения $\frac{2}{x}$. Это выражение определено при всех значениях $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. Таким образом, $x \neq 0$. Возведение в квадрат не накладывает дополнительных ограничений на область определения.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

5) $y = \sin \sqrt{x}$

Функция синус определена для любого действительного аргумента. Однако, ее аргумент, выражение $\sqrt{x}$, определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

6) $y = \cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

Функция косинус определена для любого действительного аргумента. Ее аргумент содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Также знаменатель дроби под корнем не должен быть равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \frac{x-1}{x+1} \ge 0 \\ x+1 \neq 0 \end{cases}$

Из второго условия следует, что $x \neq -1$.

Для решения неравенства $\frac{x-1}{x+1} \ge 0$ используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$; $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Отметим точки $-1$ и $1$ на числовой прямой. Точка $x=1$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ исключается (знаменатель не равен нулю).

Определим знаки выражения $\frac{x-1}{x+1}$ на полученных интервалах:

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$.
• При $x \in (-1; 1)$, например $x=0$: $\frac{0-1}{0+1} = -1 < 0$.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$: $\frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3} > 0$.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно. Это объединение $(-\infty; -1)$ и $[1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup [1; +\infty)$.