Номер 5, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 5, страница 9.

Условие.

Найти область определения функции (5—6).

5. 1) $y=\sqrt{\sin x+1}$;

2) $y=\sqrt{\cos x-1}$;

3) $y=\lg \sin x$;

4) $y=\sqrt{2\cos x-1}$;

5) $y=\sqrt{1-2\sin x}$;

6) $y=\ln \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Область определения функции $y = \sqrt{\sin x + 1}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\sin x + 1 \ge 0$. Это неравенство равносильно $\sin x \ge -1$. Поскольку область значений функции синус $E(\sin x) = [-1; 1]$, данное неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{\cos x - 1}$ находится из условия $\cos x - 1 \ge 0$, что равносильно $\cos x \ge 1$. Так как область значений функции косинус $E(\cos x) = [-1; 1]$, это неравенство может выполняться только в случае равенства: $\cos x = 1$. Решениями этого уравнения являются значения $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Область определения функции $y = \lg \sin x$ (десятичный логарифм) находится из условия, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $\sin x > 0$. Это неравенство выполняется, когда угол $x$ находится в первой или второй четверти. С учетом периодичности функции синус (период $2\pi$), получаем $2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $y = \sqrt{2\cos x - 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2\cos x - 1 \ge 0$. Отсюда следует $\cos x \ge \frac{1}{2}$. Решая это тригонометрическое неравенство, находим, что на основном периоде оно выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$. Учитывая периодичность функции косинус, общее решение имеет вид: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

5) Область определения функции $y = \sqrt{1 - 2\sin x}$ задается условием $1 - 2\sin x \ge 0$. Это неравенство преобразуется к виду $2\sin x \le 1$, или $\sin x \le \frac{1}{2}$. Решением этого неравенства являются все значения $x$, для которых синус не превышает $\frac{1}{2}$. С учетом периодичности, эти значения $x$ лежат в промежутках $[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x \in [-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

6) Для функции $y = \ln \cos x$ (натуральный логарифм) выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $\cos x > 0$. Это неравенство выполняется, когда угол $x$ находится в первой или четвертой четверти. С учетом периодичности функции косинус, получаем интервалы $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.