Номер 9, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 9, страница 9.
№9 (с. 9)
Условие. №9 (с. 9)
скриншот условия

9. 1) $y = \sin^4 x + \cos^4 x;$
2) $y = \sin^6 x + \cos^6 x.$
Решение 1. №9 (с. 9)


Решение 2. №9 (с. 9)


Решение 3. №9 (с. 9)
1) $y = \sin^4 x + \cos^4 x$
Для решения этой задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Представим выражение $\sin^4 x + \cos^4 x$ как $(\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2$. Дополним его до полного квадрата суммы, прибавив и вычтя $2\sin^2 x \cos^2 x$:
$y = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x)^2 + 2\sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$
Сгруппируем первые три слагаемых, чтобы получить квадрат суммы:
$y = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$
Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, подставим это значение в выражение:
$y = 1^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Возведя ее в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x$, откуда $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.
Подставим это в наше выражение для $y$:
$y = 1 - 2 \left( \frac{1}{4}\sin^2(2x) \right) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$
Для дальнейшего упрощения применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому $2\alpha = 4x$.
$y = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{1 - \cos(4x)}{4}$
Приведем к общему знаменателю:
$y = \frac{4 - (1 - \cos(4x))}{4} = \frac{4 - 1 + \cos(4x)}{4} = \frac{3 + \cos(4x)}{4}$
Ответ: $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$
2) $y = \sin^6 x + \cos^6 x$
Для решения этой задачи представим выражение в виде суммы кубов: $y = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$.
Воспользуемся тождеством для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.
Пусть $a = \sin^2 x$ и $b = \cos^2 x$. Тогда, согласно основному тригонометрическому тождеству, $a+b = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Подставим $a$ и $b$ в тождество:
$y = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3(\sin^2 x \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$
Заменим $\sin^2 x + \cos^2 x$ на 1:
$y = 1^3 - 3(\sin^2 x \cos^2 x)(1) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$
Теперь, как и в предыдущей задаче, воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.
Подставим это в наше выражение для $y$:
$y = 1 - 3 \left( \frac{1}{4}\sin^2(2x) \right) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$
Применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ для $\alpha = 2x$:
$y = 1 - \frac{3}{4} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{3(1 - \cos(4x))}{8}$
Приведем к общему знаменателю:
$y = \frac{8 - 3(1 - \cos(4x))}{8} = \frac{8 - 3 + 3\cos(4x)}{8} = \frac{5 + 3\cos(4x)}{8}$
Ответ: $y = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos(4x)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 9 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 9), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.