Номер 9, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 9, страница 9.

Условие.

9. 1) $y = \sin^4 x + \cos^4 x;$

2) $y = \sin^6 x + \cos^6 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \sin^4 x + \cos^4 x$

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим выражение $\sin^4 x + \cos^4 x$ как $(\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2$. Дополним его до полного квадрата суммы, прибавив и вычтя $2\sin^2 x \cos^2 x$:

$y = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x)^2 + 2\sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Сгруппируем первые три слагаемых, чтобы получить квадрат суммы:

$y = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, подставим это значение в выражение:

$y = 1^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Возведя ее в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x$, откуда $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Подставим это в наше выражение для $y$:

$y = 1 - 2 \left( \frac{1}{4}\sin^2(2x) \right) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$

Для дальнейшего упрощения применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому $2\alpha = 4x$.

$y = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{1 - \cos(4x)}{4}$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{4 - (1 - \cos(4x))}{4} = \frac{4 - 1 + \cos(4x)}{4} = \frac{3 + \cos(4x)}{4}$

Ответ: $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$

2) $y = \sin^6 x + \cos^6 x$

Для решения этой задачи представим выражение в виде суммы кубов: $y = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$.

Воспользуемся тождеством для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sin^2 x$ и $b = \cos^2 x$. Тогда, согласно основному тригонометрическому тождеству, $a+b = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Подставим $a$ и $b$ в тождество:

$y = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3(\sin^2 x \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Заменим $\sin^2 x + \cos^2 x$ на 1:

$y = 1^3 - 3(\sin^2 x \cos^2 x)(1) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь, как и в предыдущей задаче, воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Подставим это в наше выражение для $y$:

$y = 1 - 3 \left( \frac{1}{4}\sin^2(2x) \right) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

Применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ для $\alpha = 2x$:

$y = 1 - \frac{3}{4} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{3(1 - \cos(4x))}{8}$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{8 - 3(1 - \cos(4x))}{8} = \frac{8 - 3 + 3\cos(4x)}{8} = \frac{5 + 3\cos(4x)}{8}$

Ответ: $y = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos(4x)$