Номер 10, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 10, страница 9.

Условие.

10. Доказать ограниченность функции:

1) $y=\frac{\cos x}{1,5-\sin x}$;

2) $y=\frac{1}{\sqrt{3}-(\sin x+\cos x)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \frac{\cos x}{1.5 - \sin x}$

Для доказательства ограниченности функции необходимо показать, что существует такое число $C > 0$, что $|y| \le C$ для всех $x$ из области определения. Другими словами, нужно показать, что множество значений функции ограничено сверху и снизу.

Сначала рассмотрим знаменатель дроби: $1.5 - \sin x$.

Известно, что значения функции синус лежат в промежутке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Тогда для знаменателя получаем:

$1.5 - 1 \le 1.5 - \sin x \le 1.5 - (-1)$

$0.5 \le 1.5 - \sin x \le 2.5$

Знаменатель всегда положителен и не равен нулю, значит, функция определена для всех действительных чисел $x$.

Для нахождения множества значений функции $y$ преобразуем исходное уравнение:

$y = \frac{\cos x}{1.5 - \sin x} \implies y(1.5 - \sin x) = \cos x$

$1.5y - y \sin x = \cos x$

$y \sin x + \cos x = 1.5y$

Получили уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=y$, $b=1$, $c=1.5y$.

Такое уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется неравенство $a^2 + b^2 \ge c^2$.

Подставим наши значения:

$y^2 + 1^2 \ge (1.5y)^2$

$y^2 + 1 \ge 2.25y^2$

$1 \ge 2.25y^2 - y^2$

$1 \ge 1.25y^2$

$y^2 \le \frac{1}{1.25} \implies y^2 \le \frac{1}{5/4} \implies y^2 \le \frac{4}{5}$

Из этого неравенства следует, что $|y| \le \sqrt{\frac{4}{5}}$, то есть $|y| \le \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Таким образом, множество значений функции $E(y)$ есть отрезок $[-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}]$, что можно записать как $[-\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}]$.

Так как множество значений функции является ограниченным отрезком, то функция является ограниченной.

Ответ: Функция ограничена, так как ее значения принадлежат отрезку $[-\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}]$.

2) $y = \frac{1}{\sqrt{3} - (\sin x + \cos x)}$

Для доказательства ограниченности данной функции найдем ее область значений. Для этого сначала оценим выражение в знаменателе.

Рассмотрим сумму $S = \sin x + \cos x$. Преобразуем ее с помощью метода вспомогательного угла:

$S = \sin x + \cos x = \sqrt{1^2 + 1^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$

$S = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Так как $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то для суммы $S$ имеем:

$-\sqrt{2} \le \sin x + \cos x \le \sqrt{2}$

Теперь оценим знаменатель дроби $D = \sqrt{3} - (\sin x + \cos x)$.

Минимальное значение знаменателя достигается, когда $\sin x + \cos x$ максимально, то есть равно $\sqrt{2}$:

$D_{min} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Максимальное значение знаменателя достигается, когда $\sin x + \cos x$ минимально, то есть равно $-\sqrt{2}$:

$D_{max} = \sqrt{3} - (-\sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $D_{min} = \sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$. Значит, знаменатель всегда положителен и не обращается в ноль. Функция определена для всех $x$.

Итак, знаменатель $D$ принимает значения в отрезке $[\sqrt{3} - \sqrt{2}, \sqrt{3} + \sqrt{2}]$.

Функция $y = \frac{1}{D}$. Так как знаменатель $D$ положителен, функция $y$ также будет всегда положительна.

Наибольшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $D$, а наименьшее значение $y$ — при наибольшем значении $D$.

$y_{max} = \frac{1}{D_{min}} = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

$y_{min} = \frac{1}{D_{max}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Таким образом, множество значений функции $E(y)$ есть отрезок $[\sqrt{3} - \sqrt{2}, \sqrt{3} + \sqrt{2}]$.

Так как множество значений функции является ограниченным отрезком, то функция является ограниченной.

Ответ: Функция ограничена, так как ее значения принадлежат отрезку $[\sqrt{3} - \sqrt{2}, \sqrt{3} + \sqrt{2}]$.