Номер 2, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 2, страница 8.

Условие.

2. Найти множество значений функции:

1) $y = 1 + \sin x;$

2) $y = 1 - \cos x;$

3) $y = 2\sin x + 3;$

4) $y = 1 - 4\cos 2x;$

5) $y = \sin 2x \cos 2x + 2;$

6) $y = \frac{1}{2}\sin x \cos x - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $y = 1 + \sin x$ мы используем свойство функции синуса. Множество значений функции $f(x)=\sin x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Чтобы найти множество значений для $y$, прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:
$1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$
$0 \le y \le 2$
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[0; 2]$.
Ответ: $E(y) = [0; 2]$.

2) Для функции $y = 1 - \cos x$ мы используем свойство функции косинуса. Множество значений функции $f(x)=\cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Сначала умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$-1 \cdot (-1) \ge -\cos x \ge -1 \cdot 1$
$1 \ge -\cos x \ge -1$, что равносильно $-1 \le -\cos x \le 1$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 + (-1) \le 1 - \cos x \le 1 + 1$
$0 \le y \le 2$
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[0; 2]$.
Ответ: $E(y) = [0; 2]$.

3) Для функции $y = 2\sin x + 3$. Множество значений функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$.
Умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot (-1) \le 2\sin x \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2\sin x \le 2$
Теперь прибавим 3 ко всем частям:
$-2 + 3 \le 2\sin x + 3 \le 2 + 3$
$1 \le y \le 5$
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[1; 5]$.
Ответ: $E(y) = [1; 5]$.

4) Для функции $y = 1 - 4\cos 2x$. Множество значений функции $f(x)=\cos 2x$ также является отрезком $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos 2x \le 1$.
Умножим все части неравенства на -4, меняя знаки неравенства:
$-4 \cdot (-1) \ge -4\cos 2x \ge -4 \cdot 1$
$4 \ge -4\cos 2x \ge -4$, что равносильно $-4 \le -4\cos 2x \le 4$.
Прибавим 1 ко всем частям:
$1 + (-4) \le 1 - 4\cos 2x \le 1 + 4$
$-3 \le y \le 5$
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-3; 5]$.
Ответ: $E(y) = [-3; 5]$.

5) Для функции $y = \sin 2x \cos 2x + 2$. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Отсюда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Применив эту формулу для $\alpha = 2x$, получаем:
$\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2}\sin(4x)$
Тогда исходная функция принимает вид: $y = \frac{1}{2}\sin 4x + 2$.
Множество значений функции $\sin 4x$ — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin 4x \le 1$.
Умножим на $\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 4x \le \frac{1}{2}$.
Прибавим 2: $2 - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 4x + 2 \le 2 + \frac{1}{2}$.
$\frac{3}{2} \le y \le \frac{5}{2}$, или $1.5 \le y \le 2.5$.
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[1.5; 2.5]$.
Ответ: $E(y) = [1.5; 2.5]$.

6) Для функции $y = \frac{1}{2}\sin x \cos x - 1$. Снова используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$.
Подставим это в нашу функцию:
$y = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) - 1 = \frac{1}{4}\sin 2x - 1$.
Множество значений функции $\sin 2x$ — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin 2x \le 1$.
Умножим на $\frac{1}{4}$: $-\frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\sin 2x \le \frac{1}{4}$.
Вычтем 1: $-\frac{1}{4} - 1 \le \frac{1}{4}\sin 2x - 1 \le \frac{1}{4} - 1$.
$-\frac{5}{4} \le y \le -\frac{3}{4}$, или $-1.25 \le y \le -0.75$.
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-1.25; -0.75]$.
Ответ: $E(y) = [-1.25; -0.75]$.