Номер 20, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 20, страница 14.

Условие.

20. Выяснить, является ли периодической функция:

1) $y = \sqrt{\sin x}$;

2) $y = \sin \sqrt{x}$;

3) $y = |\sin |x||$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \sqrt{\sin x}$

Для того чтобы выяснить, является ли функция периодической, она должна удовлетворять определению периодической функции. Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняются два условия:
1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Сначала найдем область определения $D(y)$ для функции $y = \sqrt{\sin x}$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\sin x \ge 0$
Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих отрезкам вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, область определения $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Она состоит из бесконечного набора изолированных друг от друга отрезков.

Проверим, является ли число $T = 2\pi$ периодом функции, так как это основной период для функции $\sin x$.
1. Проверим условие для области определения. Если $x \in D(y)$, то $x$ принадлежит некоторому отрезку $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Тогда точка $x + 2\pi$ будет принадлежать отрезку $[2\pi k + 2\pi, \pi + 2\pi k + 2\pi]$, то есть $[2\pi (k+1), \pi + 2\pi (k+1)]$. Этот отрезок также входит в область определения функции. Аналогично для $x-2\pi$. Условие выполняется.
2. Проверим равенство значений функции:
$y(x + 2\pi) = \sqrt{\sin(x + 2\pi)} = \sqrt{\sin x} = y(x)$.
Равенство выполняется для всех $x$ из области определения.

Поскольку оба условия выполнены, функция является периодической. Наименьший положительный период равен $2\pi$.
Ответ: функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.

2) $y = \sin\sqrt{x}$

Найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$.
Область определения $D(y) = [0, +\infty)$.

Согласно определению периодической функции, если функция имеет период $T > 0$, то для любой точки $x$ из ее области определения точка $x-T$ также должна принадлежать области определения.
Возьмем точку $x=0$, которая принадлежит $D(y)$. Если бы функция была периодической с некоторым периодом $T>0$, то точка $x-T = 0-T = -T$ также должна была бы входить в область определения. Однако $-T < 0$, поэтому точка $-T$ не принадлежит $D(y) = [0, +\infty)$.
Так как одно из ключевых условий периодичности не выполняется, функция не является периодической.

Дополнительно можно проанализировать расстояние между нулями функции. Нули функции находятся в точках, где $\sin\sqrt{x} = 0$:
$\sqrt{x} = \pi k$, где $k=0, 1, 2, \dots$ (так как $\sqrt{x} \ge 0$).
$x_k = (\pi k)^2 = \pi^2 k^2$.
Расстояния между соседними нулями:
$x_1 - x_0 = \pi^2 - 0 = \pi^2$.
$x_2 - x_1 = 4\pi^2 - \pi^2 = 3\pi^2$.
$x_3 - x_2 = 9\pi^2 - 4\pi^2 = 5\pi^2$.
Расстояния между последовательными нулями не постоянны, что также подтверждает, что функция не является периодической.
Ответ: функция не является периодической.

3) $y = |\sin|x||$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$, так как модуль и синус определены для любых действительных чисел.

Преобразуем выражение $y = |\sin|x||$.
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = |\sin x|$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = |\sin(-x)|$. Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-u) = -\sin u$), получаем $y = |-\sin x|$. Так как модуль отрицательного числа равен модулю положительного ($|-a| = |a|$), то $y = |\sin x|$.
Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется тождество $|\sin|x|| = |\sin x|$.

Следовательно, задача сводится к анализу периодичности функции $y = |\sin x|$.
Функция $\sin x$ имеет основной период $2\pi$. Проверим, какой период у функции $y = |\sin x|$. Попробуем $T = \pi$.
$y(x+\pi) = |\sin(x+\pi)|$.
Используя формулу приведения $\sin(x+\pi) = -\sin x$, получаем:
$|\sin(x+\pi)| = |-\sin x| = |\sin x| = y(x)$.
Равенство $y(x+\pi) = y(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Область определения $\mathbb{R}$ также удовлетворяет условию периодичности. Значит, функция $y = |\sin x|$ (и, соответственно, исходная функция $y = |\sin|x||$) является периодической.

Число $\pi$ является наименьшим положительным периодом.
Ответ: функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.