Номер 38, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 38, страница 20.

Условие.

38. Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа:

1) $cos \frac{\pi}{5}$ и $sin \frac{\pi}{5}$;
2) $sin \frac{\pi}{7}$ и $cos \frac{\pi}{7}$;
3) $cos \frac{3\pi}{8}$ и $sin \frac{5\pi}{8}$;
4) $sin \frac{3\pi}{5}$ и $cos \frac{\pi}{5}$;
5) $cos \frac{\pi}{6}$ и $sin \frac{5\pi}{14}$;
6) $cos \frac{\pi}{8}$ и $sin \frac{3\pi}{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Сравним $\cos \frac{\pi}{5}$ и $\sin \frac{\pi}{5}$.
Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы выразить синус через косинус.
$\sin \frac{\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \cos \frac{3\pi}{10}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\cos \frac{\pi}{5}$ и $\cos \frac{3\pi}{10}$.
Аргументы $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{10}$ находятся в первой четверти, то есть в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.
Сравним сами углы: $\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10}$. Так как $\frac{2\pi}{10} < \frac{3\pi}{10}$, то $\frac{\pi}{5} < \frac{3\pi}{10}$.
Функция $y = \cos x$ на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Поэтому, $\cos \frac{\pi}{5} > \cos \frac{3\pi}{10}$.
Следовательно, $\cos \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{5}$.

2) Сравним $\sin \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi - 2\pi}{14}) = \cos \frac{5\pi}{14}$.
Теперь сравним $\cos \frac{5\pi}{14}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$.
Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{14}$.
Углы $\frac{5\pi}{14}$ и $\frac{2\pi}{14}$ находятся в первой четверти.
Сравним углы: $\frac{5\pi}{14} > \frac{2\pi}{14}$.
Так как функция $y = \cos x$ убывает на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, то из $\frac{5\pi}{14} > \frac{2\pi}{14}$ следует, что $\cos \frac{5\pi}{14} < \cos \frac{2\pi}{14}$.
Следовательно, $\sin \frac{\pi}{7} < \cos \frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\sin \frac{\pi}{7} < \cos \frac{\pi}{7}$.

3) Сравним $\cos \frac{3\pi}{8}$ и $\sin \frac{5\pi}{8}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{5\pi}{8} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{8}) = \cos(\frac{4\pi - 5\pi}{8}) = \cos(-\frac{\pi}{8})$.
Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$), то $\cos(-\frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{8}$.
Теперь сравним $\cos \frac{3\pi}{8}$ и $\cos \frac{\pi}{8}$.
Оба угла, $\frac{3\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{8}$, находятся в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$).
Так как $\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{8}$ и функция $y = \cos x$ убывает на $[0, \frac{\pi}{2}]$, то $\cos \frac{3\pi}{8} < \cos \frac{\pi}{8}$.
Следовательно, $\cos \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8}$.
Ответ: $\cos \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8}$.

4) Сравним $\sin \frac{3\pi}{5}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{3\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}) = \cos(\frac{5\pi - 6\pi}{10}) = \cos(-\frac{\pi}{10})$.
Используя четность косинуса, получаем $\cos(-\frac{\pi}{10}) = \cos \frac{\pi}{10}$.
Теперь сравним $\cos \frac{\pi}{10}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$.
Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{2\pi}{10}$, находятся в первой четверти.
Сравним углы: $\frac{\pi}{10} < \frac{2\pi}{10}$.
Так как функция $y = \cos x$ убывает на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, то из $\frac{\pi}{10} < \frac{2\pi}{10}$ следует, что $\cos \frac{\pi}{10} > \cos \frac{2\pi}{10}$.
Следовательно, $\sin \frac{3\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\sin \frac{3\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{5}$.

5) Сравним $\cos \frac{\pi}{6}$ и $\sin \frac{5\pi}{14}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{5\pi}{14} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \cos(\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \cos \frac{2\pi}{14} = \cos \frac{\pi}{7}$.
Теперь сравним $\cos \frac{\pi}{6}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{7}$, находятся в первой четверти.
Сравним углы: так как $6 < 7$, то $\frac{1}{6} > \frac{1}{7}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{6} > \frac{\pi}{7}$.
Поскольку функция $y = \cos x$ убывает на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, то из $\frac{\pi}{6} > \frac{\pi}{7}$ следует, что $\cos \frac{\pi}{6} < \cos \frac{\pi}{7}$.
Следовательно, $\cos \frac{\pi}{6} < \sin \frac{5\pi}{14}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{6} < \sin \frac{5\pi}{14}$.

6) Сравним $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\sin \frac{3\pi}{10}$.
Выразим синус через косинус по формуле приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\sin \frac{3\pi}{10} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \cos(\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \cos \frac{2\pi}{10} = \cos \frac{\pi}{5}$.
Теперь сравним $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{5}$, находятся в первой четверти.
Сравним углы: так как $8 > 5$, то $\frac{1}{8} < \frac{1}{5}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5}$.
Поскольку функция $y = \cos x$ убывает на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, то из $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5}$ следует, что $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{\pi}{5}$.
Следовательно, $\cos \frac{\pi}{8} > \sin \frac{3\pi}{10}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{8} > \sin \frac{3\pi}{10}$.