Номер 42, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 42, страница 21.

Условие.

42. Найти множество значений функции $y=\cos x$, если $x$ принадлежит промежутку:

1) $\left[\frac{\pi}{3}; \pi\right];$

2) $\left(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения множества значений функции $y = \cos x$ на отрезке $x \in [\frac{\pi}{3}; \pi]$, проанализируем поведение функции на этом промежутке.
Функция $y = \cos x$ является непрерывной и монотонно убывающей на всем отрезке $[0; \pi]$. Поскольку отрезок $[\frac{\pi}{3}; \pi]$ является частью отрезка $[0; \pi]$, функция $y = \cos x$ также убывает на нем.
При монотонном убывании на отрезке наибольшее значение достигается в его начальной точке, а наименьшее — в конечной.
Вычислим значения функции на границах отрезка:

• Наибольшее значение (в точке $x=\frac{\pi}{3}$): $y(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
• Наименьшее значение (в точке $x=\pi$): $y(\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Так как функция непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением. Следовательно, множество значений функции на данном отрезке — это промежуток от $-1$ до $\frac{1}{2}$ включительно.

Ответ: $[-1; \frac{1}{2}]$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = \cos x$ на интервале $x \in (\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$, исследуем ее монотонность на этом промежутке.
Для этого найдем производную функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.
Интервал $(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$ соответствует дуге в третьей и четвертой четвертях единичной окружности (от 225° до 315°). На этом интервале синус принимает отрицательные значения, то есть $\sin x < 0$.
Следовательно, производная $y' = -\sin x$ будет положительной ($y' > 0$) на всем интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4})$. Это означает, что функция $y = \cos x$ является строго возрастающей на данном интервале.
Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на открытом интервале, ее множество значений будет также открытым интервалом. Границы этого интервала определяются значениями функции в граничных точках исходного интервала (сами эти значения не включаются).
Вычислим значения в граничных точках:

• Значение в левой границе (при $x \to \frac{5\pi}{4}$): $\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Значение в правой границе (при $x \to \frac{7\pi}{4}$): $\cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, множество значений функции на данном интервале — это все числа между $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$, не включая концы.

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.