Номер 43, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 43, страница 21.

Условие.

43. Найти промежутки возрастания функции $y = \cos 2x + \sin^2 x$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции, необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах она положительна.

Сначала упростим заданную функцию $y = \cos 2x + \sin^2 x$, используя тригонометрические формулы.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходную функцию: $y = (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Таким образом, мы получили упрощенный вид функции: $y = \cos^2 x$.

Теперь найдем производную этой функции. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Тогда производная примет вид:

$y' = -\sin 2x$.

Функция возрастает там, где ее производная положительна, то есть $y' > 0$. Решим неравенство:

$-\sin 2x > 0$

$\sin 2x < 0$

Нам нужно найти решения этого неравенства на отрезке $x \in [0, 2\pi]$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2x$. Так как $0 \le x \le 2\pi$, то $0 \le 2x \le 4\pi$, следовательно, $t \in [0, 4\pi]$.

Решаем неравенство $\sin t < 0$ на промежутке $t \in [0, 4\pi]$. Функция синус отрицательна в III и IV координатных четвертях. На первом обороте ($t \in [0, 2\pi]$) это интервал $(\pi, 2\pi)$. На втором обороте ($t \in [2\pi, 4\pi]$) это интервал $(3\pi, 4\pi)$.

Таким образом, решения для $t$: $t \in (\pi, 2\pi) \cup (3\pi, 4\pi)$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:

1) $\pi < t < 2\pi \implies \pi < 2x < 2\pi \implies \frac{\pi}{2} < x < \pi$.

2) $3\pi < t < 4\pi \implies 3\pi < 2x < 4\pi \implies \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$.

Производная $y'$ строго положительна на интервалах $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$. Поскольку исходная функция непрерывна на всем отрезке $[0, 2\pi]$, то промежутками возрастания являются отрезки, включающие свои концы (в которых производная равна нулю).

Следовательно, функция $y = \cos 2x + \sin^2 x$ возрастает на отрезках $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ и $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.

Ответ: $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.