Номер 43, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 43, страница 21.
№43 (с. 21)
Условие. №43 (с. 21)
скриншот условия

43. Найти промежутки возрастания функции $y = \cos 2x + \sin^2 x$ на отрезке $[0; 2\pi]$.
Решение 1. №43 (с. 21)

Решение 2. №43 (с. 21)

Решение 3. №43 (с. 21)
Для того чтобы найти промежутки возрастания функции, необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах она положительна.
Сначала упростим заданную функцию $y = \cos 2x + \sin^2 x$, используя тригонометрические формулы.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Подставим это выражение в исходную функцию: $y = (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 1 - \sin^2 x$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.
Таким образом, мы получили упрощенный вид функции: $y = \cos^2 x$.
Теперь найдем производную этой функции. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$y' = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Тогда производная примет вид:
$y' = -\sin 2x$.
Функция возрастает там, где ее производная положительна, то есть $y' > 0$. Решим неравенство:
$-\sin 2x > 0$
$\sin 2x < 0$
Нам нужно найти решения этого неравенства на отрезке $x \in [0, 2\pi]$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2x$. Так как $0 \le x \le 2\pi$, то $0 \le 2x \le 4\pi$, следовательно, $t \in [0, 4\pi]$.
Решаем неравенство $\sin t < 0$ на промежутке $t \in [0, 4\pi]$. Функция синус отрицательна в III и IV координатных четвертях. На первом обороте ($t \in [0, 2\pi]$) это интервал $(\pi, 2\pi)$. На втором обороте ($t \in [2\pi, 4\pi]$) это интервал $(3\pi, 4\pi)$.
Таким образом, решения для $t$: $t \in (\pi, 2\pi) \cup (3\pi, 4\pi)$.
Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:
1) $\pi < t < 2\pi \implies \pi < 2x < 2\pi \implies \frac{\pi}{2} < x < \pi$.
2) $3\pi < t < 4\pi \implies 3\pi < 2x < 4\pi \implies \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$.
Производная $y'$ строго положительна на интервалах $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$. Поскольку исходная функция непрерывна на всем отрезке $[0, 2\pi]$, то промежутками возрастания являются отрезки, включающие свои концы (в которых производная равна нулю).
Следовательно, функция $y = \cos 2x + \sin^2 x$ возрастает на отрезках $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ и $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.
Ответ: $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 43 расположенного на странице 21 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №43 (с. 21), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.