Номер 45, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 45, страница 21.

Условие.

45. С помощью графиков выяснить, имеет ли решение система уравнений:

1) $ \begin{cases} y = \log_2 x - 1, \\ y = \cos x; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = \frac{x^2 + 2}{x^2}, \\ y = \cos x. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы выяснить, имеет ли решение система уравнений, необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = \log_2 x - 1$ и $y = \cos x$. Решением системы являются точки пересечения этих графиков.

Анализ графика функции $y = \log_2 x - 1$.
Это стандартный график логарифмической функции $y = \log_2 x$, который сдвинут на 1 единицу вниз вдоль оси OY.
Область определения функции: $x > 0$.
Функция является строго возрастающей на всей области определения.
Ось OY (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
Найдем некоторые точки графика: при $x=1$, $y = \log_2 1 - 1 = -1$; при $x=2$, $y = \log_2 2 - 1 = 0$.

Анализ графика функции $y = \cos x$.
Это график стандартной функции косинуса.
Область определения: все действительные числа.
Область значений: отрезок $[-1, 1]$.

Поиск точек пересечения.
Поскольку область значений функции $y = \cos x$ это $[-1, 1]$, то нас интересуют только те участки графика $y = \log_2 x - 1$, где его значения также находятся в пределах от -1 до 1.
Найдем, при каких $x$ это происходит:
$y = -1 \implies \log_2 x - 1 = -1 \implies \log_2 x = 0 \implies x = 1$.
$y = 1 \implies \log_2 x - 1 = 1 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 4$.
Следовательно, возможные пересечения могут лежать только на отрезке $x \in [1, 4]$.

Сравним значения функций в некоторых точках этого отрезка.
При $x = \pi/2 \approx 1.57$:
$y_1 = \log_2(\pi/2) - 1 < \log_2(2) - 1 = 0$.
$y_2 = \cos(\pi/2) = 0$.
Здесь $y_1 < y_2$, то есть график логарифма находится ниже графика косинуса.
При $x=2$:
$y_1 = \log_2(2) - 1 = 0$.
$y_2 = \cos(2) \approx -0.42$.
Здесь $y_1 > y_2$, то есть график логарифма находится выше графика косинуса.

Поскольку обе функции непрерывны, а на интервале $(\pi/2, 2)$ их графики поменялись местами (график логарифма был ниже, а стал выше), это означает, что они должны были пересечься где-то на этом интервале. Следовательно, у системы есть как минимум одно решение.

Ответ: система имеет решение.

2)

Рассмотрим систему уравнений и проанализируем функции $y = \frac{x^2+2}{x^2}$ и $y = \cos x$.

Анализ графика функции $y = \frac{x^2+2}{x^2}$.
Преобразуем выражение: $y = \frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2} = 1 + \frac{2}{x^2}$.
Область определения функции: $x \ne 0$.
Так как $x^2$ всегда положительно при $x \ne 0$, то и слагаемое $\frac{2}{x^2}$ всегда будет положительным.
Следовательно, значение функции $y = 1 + \frac{2}{x^2}$ всегда будет строго больше 1.
Таким образом, область значений этой функции — интервал $(1, +\infty)$.

Анализ графика функции $y = \cos x$.
Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$.

Поиск точек пересечения.
Сравним области значений двух функций. Для первой функции $y > 1$, для второй $y \le 1$.
Области значений этих функций не пересекаются: $(1, +\infty) \cap [-1, 1] = \emptyset$.
Это означает, что для любого допустимого значения $x$ значение первой функции всегда будет больше значения второй. Графики этих функций никогда не пересекутся.

Ответ: система не имеет решений.