Номер 44, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график - номер 44, страница 21.

Условие.

44. Решить графически уравнение:

1) $ \cos x = 1 - \frac{2x}{\pi} $;

2) $ \cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $;

3) $ \cos x = 1 + \sqrt{x - 2\pi} $;

4) $ \cos x = x + \frac{\pi}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\cos x = 1 - \frac{2x}{\pi}$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \cos x$ и $y = 1 - \frac{2x}{\pi}$.

$y = \cos x$ — это стандартная косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.

$y = 1 - \frac{2x}{\pi}$ — это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = 1 - \frac{2 \cdot 0}{\pi} = 1$. Точка $(0, 1)$.
- Если $x = \frac{\pi}{2}$, то $y = 1 - \frac{2 \cdot (\pi/2)}{\pi} = 1 - 1 = 0$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Построим оба графика. Заметим, что график функции $y = \cos x$ также проходит через точку $(0, 1)$, так как $\cos(0) = 1$. Также он проходит через точку $(\frac{\pi}{2}, 0)$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Проверим еще одну возможную точку пересечения. Возьмем $x = \pi$:
- Для первой функции: $y = \cos(\pi) = -1$.
- Для второй функции: $y = 1 - \frac{2\pi}{\pi} = 1 - 2 = -1$.
Следовательно, точка $(\pi, -1)$ также является точкой пересечения.

При $x > \pi$ значения функции $y = 1 - \frac{2x}{\pi}$ становятся меньше -1, в то время как значения функции $y = \cos x$ остаются в пределах от -1 до 1. При $x < 0$ значения прямой $y = 1 - \frac{2x}{\pi}$ становятся больше 1. Таким образом, других точек пересечения нет.

Графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$ и $x_3 = \pi$.

Ответ: $0, \frac{\pi}{2}, \pi$.

2) $\cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$.

Область определения функции $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$ задается условием $x - \frac{\pi}{2} \geq 0$, то есть $x \geq \frac{\pi}{2}$. Область значений этой функции $y \geq 0$.

Поскольку $\cos x$ должен быть равен неотрицательной величине, то $\cos x \geq 0$.

Рассмотрим точку $x = \frac{\pi}{2}$:
- Для первой функции: $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
- Для второй функции: $y = \sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = 0$.
Следовательно, $x = \frac{\pi}{2}$ является корнем уравнения.

При $x > \frac{\pi}{2}$ функция $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$ является возрастающей. Рассмотрим поведение функций на промежутках, где $x > \frac{\pi}{2}$ и $\cos x \geq 0$. Это промежутки вида $[\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \frac{5\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ - целое неотрицательное число.

На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, $\cos x < 0$, а $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}} > 0$, поэтому решений нет.

На промежутке $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ функция $\cos x$ возрастает от 0 до 1, а затем убывает до 0. В то же время, $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$ продолжает возрастать. При $x = 2\pi$ имеем $\cos(2\pi) = 1$, а $\sqrt{2\pi - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{3\pi}{2}} \approx \sqrt{4.71} > 2$. Так как $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$ растет быстрее и уже при $x=2\pi$ ее значение больше максимального значения $\cos x$, других пересечений не будет.

Единственная точка пересечения графиков имеет абсциссу $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) $\cos x = 1 + \sqrt{x - 2\pi}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = 1 + \sqrt{x - 2\pi}$.

Рассмотрим области значений функций. Для $y=\cos x$ область значений — $[-1, 1]$.

Для функции $y = 1 + \sqrt{x - 2\pi}$:
- Область определения: $x - 2\pi \geq 0 \implies x \geq 2\pi$.
- Поскольку $\sqrt{x-2\pi} \ge 0$, то $1 + \sqrt{x-2\pi} \ge 1$. Таким образом, область значений этой функции — $[1, \infty)$.

Равенство $\cos x = 1 + \sqrt{x - 2\pi}$ возможно только в том случае, если обе части уравнения равны 1.
Это требует одновременного выполнения двух условий:
1) $\cos x = 1$, что выполняется при $x = 2\pi k$ для целых $k$.
2) $1 + \sqrt{x - 2\pi} = 1$, что означает $\sqrt{x - 2\pi} = 0$, откуда $x = 2\pi$.

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x = 2\pi$. При этом значении $k=1$.

Графически это означает, что в точке $x=2\pi$ оба графика касаются друг друга: $\cos(2\pi) = 1$ и $1 + \sqrt{2\pi - 2\pi} = 1$. При $x > 2\pi$ имеем $\cos x \le 1$, а $1 + \sqrt{x - 2\pi} > 1$, поэтому других точек пересечения нет.

Ответ: $2\pi$.

4) $\cos x = x + \frac{\pi}{2}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = x + \frac{\pi}{2}$.

$y = \cos x$ — косинусоида.

$y = x + \frac{\pi}{2}$ — прямая линия. Найдем её точки пересечения с осями:
- При $x = 0$, $y = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0, \frac{\pi}{2})$.
- При $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(-\frac{\pi}{2}, 0)$.

Проверим точку $x = -\frac{\pi}{2}$ на принадлежность обоим графикам:
- Для первой функции: $y = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
- Для второй функции: $y = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Точка $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ является точкой пересечения.

Чтобы определить, есть ли другие точки пересечения, можно сравнить наклоны графиков. Наклон прямой $y = x + \frac{\pi}{2}$ постоянен и равен 1. Наклон касательной к графику $y = \cos x$ равен производной $(\cos x)' = -\sin x$.

В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ наклон касательной к косинусоиде равен $-\sin(-\frac{\pi}{2}) = -(-1) = 1$.

Поскольку в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ значения функций и их производных совпадают, прямая $y = x + \frac{\pi}{2}$ является касательной к графику $y = \cos x$ в этой точке.

Так как функция $y = \cos x$ является вогнутой на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, её график (кроме точки касания) лежит ниже касательной. Для всех остальных $x$ значения $\cos x$ будут меньше значений $x + \frac{\pi}{2}$. Следовательно, других точек пересечения нет.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.