Страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

141. Построить график функции $y = f(x)$ и найти $\lim_{x \to a} f(x)$, если:

1) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$, $a=0$;

2) $f(x) = \frac{x^2-9}{x+3}$, $a=-3$;

3) $f(x) = \frac{x^3-1}{x-1}$, $a=1$;

4) $f(x) = \frac{2x^2-x-6}{x-2}$, $a=2$.

1)

Дана функция $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$ и точка $a=0$.

Построение графика:

Область определения функции (ОДЗ) — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $f(x) = \frac{x^2}{x} = x$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $f(x) = \frac{x^2}{-x} = -x$.

Таким образом, функция $f(x)$ совпадает с функцией $y = |x|$ при всех $x \neq 0$. Графиком является "галочка", состоящая из двух лучей $y=x$ (при $x>0$) и $y=-x$ (при $x<0$), с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$, поскольку функция в этой точке не определена.

Нахождение предела:

Для нахождения предела $\lim_{x \to 0} f(x)$ нужно рассмотреть односторонние пределы.

Предел справа (когда $x$ стремится к 0, оставаясь положительным):

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$

Предел слева (когда $x$ стремится к 0, оставаясь отрицательным):

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$

Поскольку левый и правый пределы равны, то предел функции в точке $x=0$ существует и равен их общему значению.

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{|x|} = 0$.

Ответ: График функции — это график $y=|x|$ с выколотой точкой в начале координат $(0,0)$. Предел $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{x^2-9}{x+3}$ и точка $a=-3$.

Построение графика:

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

Упростим функцию, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$

Так как $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x+3)$:

$f(x) = x-3$

Графиком функции является прямая $y=x-3$ с выколотой точкой при $x=-3$. Чтобы найти y-координату этой точки, подставим $x=-3$ в упрощенное выражение: $y = -3 - 3 = -6$.

Таким образом, график — это прямая линия, проходящая через точки, например, $(0, -3)$ и $(3, 0)$, с выколотой точкой $(-3, -6)$.

Нахождение предела:

При подстановке $x=-3$ в исходную функцию получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Используем упрощенное выражение для нахождения предела:

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2-9}{x+3} = \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = \lim_{x \to -3} (x-3) = -3 - 3 = -6$.

Ответ: График функции — это прямая $y=x-3$ с выколотой точкой $(-3, -6)$. Предел $\lim_{x \to -3} f(x) = -6$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{x^3-1}{x-1}$ и точка $a=1$.

Построение графика:

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Упростим функцию, разложив числитель по формуле разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$f(x) = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}$

Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x-1)$:

$f(x) = x^2+x+1$

Графиком функции является парабола $y=x^2+x+1$ с выколотой точкой при $x=1$. Найдем y-координату этой точки: $y = 1^2 + 1 + 1 = 3$.

Таким образом, график — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ и выколотой точкой $(1, 3)$.

Нахождение предела:

При подстановке $x=1$ в исходную функцию получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Используем упрощенное выражение:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2+x+1) = 1^2+1+1 = 3$.

Ответ: График функции — это парабола $y=x^2+x+1$ с выколотой точкой $(1, 3)$. Предел $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{2x^2-x-6}{x-2}$ и точка $a=2$.

Построение графика:

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Упростим функцию, разложив числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2-x-6=0$.

Дискриминант $D = b^2-4ac = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{1+7}{4} = 2$; $x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{1-7}{4} = -\frac{3}{2}$.

Разложение на множители: $2x^2-x-6 = 2(x-2)(x+\frac{3}{2}) = (x-2)(2x+3)$.

Подставим в функцию:

$f(x) = \frac{(x-2)(2x+3)}{x-2}$

Так как $x \neq 2$, сокращаем дробь:

$f(x) = 2x+3$

Графиком функции является прямая $y=2x+3$ с выколотой точкой при $x=2$. Найдем y-координату этой точки: $y = 2(2) + 3 = 7$.

Таким образом, график — это прямая линия с выколотой точкой $(2, 7)$.

Нахождение предела:

При подстановке $x=2$ в исходную функцию получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Используем упрощенное выражение:

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2-x-6}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(2x+3)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (2x+3) = 2(2)+3 = 7$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2x+3$ с выколотой точкой $(2, 7)$. Предел $\lim_{x \to 2} f(x) = 7$.

142. Найти пределы слева и справа функции $f(x)$ в точке $a$, если:

1) $f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 \text{ при } x < 0, \\ x + 2 \text{ при } x > 0, \end{cases} a = 0;$

2) $f(x) = \frac{3x - |x|}{2x}, a = 0;$

3) $f(x) = \begin{cases} |x| - 1 \text{ при } x < -1, \\ \sqrt{x + 2} \text{ при } x > -1, \end{cases} a = -1;$

4) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2|x| \text{ при } x < -1, \\ x + 3 \text{ при } x > -1, \end{cases} a = -1;$

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{при } x < 0 \\ x + 2 & \text{при } x > 0 \end{cases}$ и точка $a = 0$.
Для нахождения предела слева (левостороннего предела), мы рассматриваем значения $x$, стремящиеся к $0$, но остающиеся меньше $0$ ($x \to 0^-$). Для таких $x$ функция задается как $f(x) = 1 - x^2$.
Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 - x^2) = 1 - 0^2 = 1$.
Для нахождения предела справа (правостороннего предела), мы рассматриваем значения $x$, стремящиеся к $0$, но остающиеся больше $0$ ($x \to 0^+$). Для таких $x$ функция задается как $f(x) = x + 2$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 2) = 0 + 2 = 2$.
Ответ: предел слева равен 1, предел справа равен 2.

2) Дана функция $f(x) = \frac{3x - |x|}{2x}$ и точка $a = 0$.
Для нахождения односторонних пределов в точке $a=0$, необходимо раскрыть модуль $|x|$ в зависимости от знака $x$.
При $x \to 0^-$ (x стремится к нулю слева), имеем $x < 0$, и поэтому $|x| = -x$. Функция принимает вид: $f(x) = \frac{3x - (-x)}{2x} = \frac{4x}{2x} = 2$.
Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 2 = 2$.
При $x \to 0^+$ (x стремится к нулю справа), имеем $x > 0$, и поэтому $|x| = x$. Функция принимает вид: $f(x) = \frac{3x - x}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$.
Ответ: предел слева равен 2, предел справа равен 1.

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} |x| - 1 & \text{при } x < -1 \\ \sqrt{x+2} & \text{при } x > -1 \end{cases}$ и точка $a = -1$.
Для нахождения предела слева ($x \to -1^-$), мы используем выражение для $x < -1$, то есть $f(x) = |x| - 1$. Поскольку при $x \to -1^-$ переменная $x$ отрицательна, то $|x| = -x$.
Таким образом, $f(x) = -x - 1$.
Предел слева: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-x - 1) = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$.
Для нахождения предела справа ($x \to -1^+$), мы используем выражение для $x > -1$, то есть $f(x) = \sqrt{x+2}$.
Предел справа: $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \sqrt{x+2} = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: предел слева равен 0, предел справа равен 1.

4) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2|x| & \text{при } x < -1 \\ x + 3 & \text{при } x > -1 \end{cases}$ и точка $a = -1$.
Для нахождения предела слева ($x \to -1^-$), мы используем выражение для $x < -1$, то есть $f(x) = x^2 - 2|x|$. Так как при $x \to -1^-$ переменная $x$ отрицательна, то $|x| = -x$.
Следовательно, $f(x) = x^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.
Предел слева: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x^2 + 2x) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Для нахождения предела справа ($x \to -1^+$), мы используем выражение для $x > -1$, то есть $f(x) = x + 3$.
Предел справа: $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x + 3) = -1 + 3 = 2$.
Ответ: предел слева равен -1, предел справа равен 2.