Страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

151. На рисунке 45 $(а—г)$ изображены графики функций. Для каждой из этих функций выяснить:

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке $[-2; 2];$

3) какие из функций являются непрерывными на интервале $(-2; 1).$

Поскольку сами графики функций (рис. 45 а-г) не предоставлены, мы решим задачу для четырех типичных случаев, которые могут быть изображены на этих графиках: (а) полностью непрерывная функция, (б) функция с разрывом типа "скачок", (в) функция с устранимым разрывом ("выколотая точка"), (г) функция с бесконечным разрывом (вертикальная асимптота).

Анализ для графика (а)

Предположим, что на графике а изображена функция, непрерывная на всей числовой прямой, например, парабола или прямая. Ее график — это сплошная линия без разрывов.

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения такой функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$). Так как по предположению функция непрерывна в каждой точке числовой прямой, она непрерывна и на всей своей области определения.
Ответ: функция является непрерывной на своей области определения.

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Непрерывная на всей числовой прямой функция не имеет точек разрыва. Следовательно, и на отрезке $[-2; 2]$ их нет.
Ответ: точек разрыва нет.

3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Если функция непрерывна везде, то она непрерывна и на любом ее частичном интервале, в том числе и на $(-2; 1)$.
Ответ: функция является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.

Анализ для графика (б)

Предположим, что на графике б изображена функция, имеющая разрыв первого рода ("скачок") в точке $x=1$. Функция определена для всех $x$, но в точке $x=1$ ее значение скачкообразно меняется.

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения такой функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$). Однако в точке $x=1$ она имеет разрыв, так как предел слева не равен пределу справа ($\lim_{x \to 1-} f(x) \neq \lim_{x \to 1+} f(x)$). Поскольку точка разрыва $x=1$ входит в область определения, функция не является непрерывной на своей области определения.
Ответ: функция не является непрерывной на своей области определения.

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Точка разрыва функции — $x=1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Ответ: точка разрыва на отрезке $[-2; 2]$ — это $x=1$.

3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Интервал $(-2; 1)$ не содержит точку разрыва $x=1$. На всех точках данного интервала функция непрерывна. Следовательно, функция непрерывна на интервале $(-2; 1)$.
Ответ: функция является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.

Анализ для графика (в)

Предположим, что на графике в изображена функция с устранимым разрывом ("выколотая точка") в точке $x=-1$. В этой точке функция не определена, но имеет конечные пределы слева и справа.

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения такой функции исключает точку $x=-1$, т.е. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. На всей этой области определения функция непрерывна (график представляет собой сплошную линию с одной "дыркой").
Ответ: функция является непрерывной на своей области определения.

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Точка $x=-1$ является точкой разрыва, так как функция в ней не определена. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Ответ: точка разрыва на отрезке $[-2; 2]$ — это $x=-1$.

3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Интервал $(-2; 1)$ содержит точку разрыва $x=-1$. Так как функция имеет разрыв внутри этого интервала, она не является непрерывной на всем интервале $(-2; 1)$.
Ответ: функция не является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.

Анализ для графика (г)

Предположим, что на графике г изображена функция с бесконечным разрывом (вертикальной асимптотой) в точке $x=0$, например, $f(x) = 1/x$.

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. В каждой точке своей области определения эта функция непрерывна.
Ответ: функция является непрерывной на своей области определения.

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Точка $x=0$ является точкой разрыва второго рода, так как пределы функции при приближении к этой точке равны бесконечности. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Ответ: точка разрыва на отрезке $[-2; 2]$ — это $x=0$.

3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Интервал $(-2; 1)$ содержит точку разрыва $x=0$. Следовательно, функция не является непрерывной на всем интервале $(-2; 1)$.
Ответ: функция не является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.

152. Построить график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} 2^x & \text{при } x < 2 \\ 4 + \sqrt{x-2} & \text{при } x > 2 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} \log_2 x & \text{при } x \le 2 \\ x^2 - 4x + 3 & \text{при } x > 2 \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} |x-2| & \text{при } x < 2 \\ |x-4| & \text{при } x > 2 \end{cases}$

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1} & \text{при } x \ge 2 \\ x-1 & \text{при } x < 2 \end{cases}$

Выяснить:

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$;

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой;

в) на каких промежутках функция непрерывна.

Для построения графика рассмотрим две части функции. При $x < 2$ график совпадает с графиком показательной функции $y=2^x$. В точке $x=2$ эта часть графика имеет предел, равный $2^2=4$. Точка $(2, 4)$ на графике является выколотой (не принадлежит графику). При $x > 2$ график совпадает с графиком функции $y=4+\sqrt{x-2}$. Это ветвь параболы $y^2=x$, смещенная на 2 единицы вправо и на 4 единицы вверх. В точке $x=2$ эта часть графика имеет предел, равный $4+\sqrt{2-2}=4$. Точка $(2, 4)$ также является выколотой. Функция не определена в точке $x=2$.

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$

Для существования предела в точке $x=2$ необходимо, чтобы односторонние пределы слева и справа были равны. Найдем левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} 2^x = 2^2 = 4 $. Найдем правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (4 + \sqrt{x-2}) = 4 + \sqrt{2-2} = 4 $. Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($4=4$), то предел функции в точке $x=2$ существует и равен 4.

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой

Функция является непрерывной в точке $x=c$, если выполнены три условия: 1) функция определена в точке $c$; 2) предел $ \lim_{x \to c} f(x) $ существует; 3) $ \lim_{x \to c} f(x) = f(c) $. В точке $x=2$ функция не определена, поэтому первое условие непрерывности не выполнено. Следовательно, функция не является непрерывной в точке $x=2$ и, как следствие, не является непрерывной на всей числовой прямой.

в) на каких промежутках функция непрерывна

Функция $y=2^x$ непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, она непрерывна на промежутке $(-\infty, 2)$. Функция $y=4+\sqrt{x-2}$ непрерывна на своей области определения, т.е. при $x \ge 2$. Следовательно, она непрерывна на промежутке $(2, \infty)$. В точке $x=2$ функция имеет устранимый разрыв, так как предел существует, но функция в этой точке не определена. Таким образом, функция непрерывна на объединении промежутков $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: а) да, предел существует и равен 4; б) нет, так как функция не определена в точке $x=2$; в) функция непрерывна на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

Область определения функции: $x>0$. При $x \in (0, 2]$ график совпадает с графиком логарифмической функции $y=\log_2 x$. В точке $x=2$ значение функции $f(2) = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$ принадлежит графику. При $x > 2$ график совпадает с параболой $y=x^2-4x+3$. Вершина параболы находится в точке $x = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$, значение в вершине $y = 2^2-4(2)+3 = -1$. В точке $x=2$ эта часть графика имеет предел $-1$. Точка $(2, -1)$ выколотая.

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$

Найдем односторонние пределы в точке $x=2$. Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \log_2 x = \log_2 2 = 1 $. Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 4x + 3) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 $. Так как левосторонний предел (1) не равен правостороннему пределу (-1), то предел функции в точке $x=2$ не существует.

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой

Во-первых, функция не определена для $x \le 0$, поэтому она не может быть непрерывной на всей числовой прямой. Во-вторых, так как предел в точке $x=2$ не существует, функция имеет в этой точке разрыв (разрыв первого рода, "скачок"). Следовательно, функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

в) на каких промежутках функция непрерывна

Функция $y=\log_2 x$ непрерывна на всей своей области определения $(0, \infty)$, значит, она непрерывна на $(0, 2)$. Так как $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 = f(2) $, функция непрерывна в точке $x=2$ слева, а значит непрерывна на промежутке $(0, 2]$. Функция $y=x^2-4x+3$ является многочленом и непрерывна везде, значит, она непрерывна на $(2, \infty)$. В точке $x=2$ имеется разрыв. Таким образом, функция непрерывна на промежутках $(0, 2]$ и $(2, \infty)$.

Ответ: а) нет, предел не существует; б) нет, так как функция не определена при $x \le 0$ и имеет разрыв в точке $x=2$; в) функция непрерывна на промежутках $(0, 2]$ и $(2, \infty)$.

При $x < 2$, выражение $x-2$ отрицательно, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. График - луч прямой $y=2-x$. При $x > 2$, график - $y=|x-4|$. Этот график состоит из двух лучей: $y=4-x$ при $2 < x < 4$ и $y=x-4$ при $x \ge 4$. Функция не определена в точке $x=2$.

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$

Найдем односторонние пределы в точке $x=2$. Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} |x-2| = \lim_{x \to 2^-} (2-x) = 2-2 = 0 $. Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} |x-4| = |2-4| = |-2| = 2 $. Так как левосторонний предел (0) не равен правостороннему пределу (2), то предел функции в точке $x=2$ не существует.

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой

Функция не определена в точке $x=2$ и предел в этой точке не существует. Следовательно, функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

в) на каких промежутках функция непрерывна

Функция $y=|x-2|$ непрерывна на всей числовой прямой, значит, она непрерывна на $(-\infty, 2)$. Функция $y=|x-4|$ непрерывна на всей числовой прямой, значит, она непрерывна на $(2, \infty)$. В точке $x=2$ имеется разрыв первого рода ("скачок"). Следовательно, функция непрерывна на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

Ответ: а) нет, предел не существует; б) нет, так как функция не определена в точке $x=2$ и имеет в ней разрыв; в) функция непрерывна на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

При $x \ge 2$ график функции совпадает с графиком гиперболы $y=\frac{1}{x-1}$. В точке $x=2$ значение функции $f(2)=\frac{1}{2-1}=1$. Точка $(2, 1)$ принадлежит графику. При $x < 2$ график совпадает с прямой $y=x-1$. В точке $x=2$ эта часть графика имеет предел, равный $2-1=1$. Точка $(2, 1)$ является предельной для этого луча.

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$

Найдем односторонние пределы в точке $x=2$. Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x-1) = 2-1 = 1 $. Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2-1} = 1 $. Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($1=1$), то предел функции в точке $x=2$ существует и равен 1.

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой

Проверим условия непрерывности в точке $x=2$: 1) Функция определена в точке $x=2$: $f(2) = 1$. 2) Предел в точке $x=2$ существует: $ \lim_{x \to 2} f(x) = 1 $. 3) Значение предела равно значению функции в этой точке: $ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 1 $. Все условия выполнены, значит функция непрерывна в точке $x=2$. На промежутке $(-\infty, 2)$ функция $f(x)=x-1$ непрерывна как многочлен. На промежутке $(2, \infty)$ функция $f(x)=\frac{1}{x-1}$ непрерывна как рациональная функция, знаменатель которой не обращается в ноль (точка $x=1$ не входит в этот промежуток). Так как функция непрерывна на $(-\infty, 2)$, на $(2, \infty)$ и в точке $x=2$, она непрерывна на всей числовой прямой.

в) на каких промежутках функция непрерывна

Как показано в пункте б), функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$.

Ответ: а) да, предел существует и равен 1; б) да, является; в) функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$.

153. Выяснить, является ли непрерывной в точке $x_0$ функция:

1) $y=\frac{1+x}{x+3}$, $x_0 = -3;$

2) $y=\begin{cases} \frac{x^2+4x+4}{x+2} & \text{при } x \neq -2 \\ 3 & \text{при } x = -2 \end{cases}$, $x_0 = -2;$

3) $f(x)=\begin{cases} x^2+4 & \text{при } x < 2 \\ x+6 & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$, $x_0 = 2;$

4) $f(x)=\begin{cases} \sin x & \text{при } x < \pi \\ 6+|x-\pi| & \text{при } x \ge \pi \end{cases}$, $x_0 = \pi.$

Для выяснения, является ли функция непрерывной в точке $x_0$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$, то есть существует значение $f(x_0)$.
2. Существует предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Это означает, что левый и правый пределы равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
3. Значение функции в точке $x_0$ равно пределу функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция имеет разрыв в точке $x_0$.

1) $y = \frac{1+x}{x+3}$, $x_0 = -3$

Проверим первое условие: найдем значение функции в точке $x_0 = -3$.

$y(-3) = \frac{1+(-3)}{-3+3} = \frac{-2}{0}$

На ноль делить нельзя, следовательно, функция не определена в точке $x_0 = -3$. Первое условие непрерывности не выполняется, значит, функция терпит разрыв в этой точке (разрыв второго рода).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = -3$.

2) $y = \begin{cases} \frac{x^2+4x+4}{x+2} & \text{при } x \neq -2, \\ 3 & \text{при } x = -2, \end{cases}$ $x_0 = -2$

1. Проверим, определена ли функция в точке $x_0 = -2$. Согласно определению функции, при $x = -2$ значение $y(-2) = 3$. Функция определена в данной точке.

2. Найдем предел функции при $x \to -2$. Для $x$, стремящегося к $-2$, но не равного $-2$, используем выражение $y(x) = \frac{x^2+4x+4}{x+2}$.

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2+4x+4}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)^2}{x+2}$

Поскольку $x \to -2$, но $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$\lim_{x \to -2} (x+2) = -2 + 2 = 0$.

Предел функции в точке $x_0 = -2$ существует и равен 0.

3. Сравним значение функции в точке и ее предел. Мы имеем $y(-2) = 3$ и $\lim_{x \to -2} y(x) = 0$.

Поскольку $\lim_{x \to -2} y(x) \neq y(-2)$ ($0 \neq 3$), третье условие непрерывности не выполняется. Следовательно, функция имеет устранимый разрыв в точке $x_0 = -2$.

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = -2$.

3) $f(x) = \begin{cases} x^2+4 & \text{при } x < 2, \\ x+6 & \text{при } x \ge 2, \end{cases}$ $x_0 = 2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0=2$. Для $x \ge 2$ используется выражение $f(x) = x+6$.

$f(2) = 2 + 6 = 8$.

Функция определена в точке $x_0=2$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=2$, так как функция задана по-разному слева и справа от точки.

Левосторонний предел (при $x \to 2^-$):

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2+4) = 2^2+4 = 8$.

Правосторонний предел (при $x \to 2^+$):

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+6) = 2+6 = 8$.

Так как левый и правый пределы равны ($8=8$), то предел функции в точке $x_0=2$ существует и равен $\lim_{x \to 2} f(x) = 8$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке. Мы получили $f(2) = 8$ и $\lim_{x \to 2} f(x) = 8$.

Поскольку $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 2$.

4) $f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{при } x < \pi, \\ 6+|x-\pi| & \text{при } x \ge \pi, \end{cases}$ $x_0 = \pi$

1. Найдем значение функции в точке $x_0=\pi$. При $x \ge \pi$ используется выражение $f(x) = 6+|x-\pi|$.

$f(\pi) = 6 + |\pi - \pi| = 6 + 0 = 6$.

Функция определена в точке $x_0=\pi$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=\pi$.

Левосторонний предел (при $x \to \pi^-$):

$\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} \sin x = \sin(\pi) = 0$.

Правосторонний предел (при $x \to \pi^+$):

$\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} (6+|x-\pi|)$.

Поскольку при $x \to \pi^+$ мы имеем $x > \pi$, то $x-\pi > 0$, и, следовательно, $|x-\pi|=x-\pi$.

$\lim_{x \to \pi^+} (6 + x - \pi) = 6 + \pi - \pi = 6$.

Так как левосторонний предел (0) не равен правостороннему пределу (6), то общий предел $\lim_{x \to \pi} f(x)$ не существует. Второе условие непрерывности не выполняется. Функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = \pi$.

154. Доказать, что функция f(x) непрерывна в точке a, если:

1) $f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{ при } x < 2, \\ 3x - 9 & \text{ при } x \ge 2, \end{cases} a = 2;$

2) $f(x) = \begin{cases} |\cos x| & \text{ при } x < \pi, \\ (x - \pi)^2 + 1 & \text{ при } x \ge \pi, \end{cases} a = \pi.$

Чтобы доказать, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция определена в точке $a$, то есть существует значение $f(a)$.
2. Существует предел функции в точке $a$, что означает равенство левостороннего и правостороннего пределов: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$.
3. Значение функции в точке $a$ равно ее пределу в этой точке: $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$.

1) $f(x)=\begin{cases} 1-x^2 & \text{при } x<2, \\ 3x-9 & \text{при } x \ge 2, \end{cases} \quad a=2$

Проверим условия непрерывности для данной функции в точке $a=2$.
1. Найдем значение функции в точке $a=2$. При $x=2$ используется вторая формула: $f(2) = 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3$. Функция определена в данной точке.
2. Найдем односторонние пределы в точке $a=2$.
Левосторонний предел (при $x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (1 - x^2) = 1 - 2^2 = -3$.
Правосторонний предел (при $x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 9) = 3(2) - 9 = -3$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны, предел функции в точке $a=2$ существует и равен -3: $\lim_{x \to 2} f(x) = -3$.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке.
Мы получили, что $\lim_{x \to 2} f(x) = -3$ и $f(2) = -3$.
Условие $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ выполняется. Следовательно, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: Доказано, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a=2$.

2) $f(x)=\begin{cases} |\cos x| & \text{при } x<\pi, \\ (x-\pi)^2+1 & \text{при } x \ge \pi, \end{cases} \quad a=\pi$

Проверим условия непрерывности для данной функции в точке $a=\pi$.
1. Найдем значение функции в точке $a=\pi$. При $x=\pi$ используется вторая формула: $f(\pi) = (\pi - \pi)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$. Функция определена в данной точке.
2. Найдем односторонние пределы в точке $a=\pi$.
Левосторонний предел (при $x \to \pi^-$): $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} |\cos x| = |\cos(\pi)| = |-1| = 1$.
Правосторонний предел (при $x \to \pi^+$): $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} ((x-\pi)^2+1) = (\pi-\pi)^2+1 = 1$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны, предел функции в точке $a=\pi$ существует и равен 1: $\lim_{x \to \pi} f(x) = 1$.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке.
Мы получили, что $\lim_{x \to \pi} f(x) = 1$ и $f(\pi) = 1$.
Условие $\lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi)$ выполняется. Следовательно, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: Доказано, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a=\pi$.

155. Найти число b, чтобы функция $f(x)$ была непрерывна в точке a, если:

1) $f(x)=\begin{cases} \log_2(x+1) & \text{при } x \le 1, \\ \frac{b}{x^2} & \text{при } x > 1 \end{cases}$, $a=1$;

2) $f(x)=\begin{cases} \sin \frac{x}{2} & \text{при } x < \pi, \\ bx & \text{при } x \ge \pi \end{cases}$, $a=\pi$;

3) $f(x)=\begin{cases} \frac{1+x}{1+x^3} & \text{при } x \ne -1, \\ b & \text{при } x = -1 \end{cases}$, $a=-1$;

4) $f(x)=\begin{cases} \cos x & \text{при } x \le 0, \\ b(x-1) & \text{при } x > 0 \end{cases}$, $a=0$.

Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $a$, если выполнены три условия:

1. Функция определена в точке $a$, то есть $f(a)$ существует.
2. Существует предел функции в точке $a$: $\lim_{x\to a} f(x)$. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x\to a-} f(x) = \lim_{x\to a+} f(x)$.
3. Предел функции в точке $a$ равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.

Для нахождения числа $b$ в каждом случае необходимо обеспечить выполнение этих условий, что сводится к равенству односторонних пределов и значения функции в точке $a$.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \log_2(x+1) & \text{при } x \le 1, \\ \frac{b}{x^2} & \text{при } x > 1, \end{cases}$ и точка $a=1$.

Для непрерывности в точке $a=1$ необходимо, чтобы левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в этой точке совпадали: $ \lim_{x\to 1-} f(x) = \lim_{x\to 1+} f(x) = f(1) $.

Найдём значение функции в точке $x=1$ (используя первую ветвь, так как $x \le 1$):
$f(1) = \log_2(1+1) = \log_2(2) = 1$.

Найдём левосторонний предел (при $x \to 1-$, $x<1$):
$ \lim_{x\to 1-} f(x) = \lim_{x\to 1-} \log_2(x+1) = \log_2(1+1) = 1 $.

Найдём правосторонний предел (при $x \to 1+$, $x>1$):
$ \lim_{x\to 1+} f(x) = \lim_{x\to 1+} \frac{b}{x^2} = \frac{b}{1^2} = b $.

Для непрерывности функции необходимо приравнять односторонние пределы:
$1 = b$.

При $b=1$ все три величины ($f(1)$, левый и правый пределы) равны 1, следовательно, функция непрерывна.

Ответ: $b=1$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \sin \frac{x}{2} & \text{при } x < \pi, \\ bx & \text{при } x \ge \pi, \end{cases}$ и точка $a=\pi$.

Для непрерывности в точке $a=\pi$ необходимо, чтобы $\lim_{x\to \pi-} f(x) = \lim_{x\to \pi+} f(x) = f(\pi)$.

Найдём левосторонний предел (при $x \to \pi-$, $x < \pi$):
$ \lim_{x\to \pi-} f(x) = \lim_{x\to \pi-} \sin \frac{x}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $.

Найдём правосторонний предел (при $x \to \pi+$, $x > \pi$). Он будет равен значению функции в точке $f(\pi)$ так как выражение для $x \ge \pi$ непрерывно:
$ \lim_{x\to \pi+} f(x) = \lim_{x\to \pi+} bx = b \cdot \pi $.

Приравниваем односторонние пределы:
$1 = b\pi$.

Отсюда находим $b$:
$b = \frac{1}{\pi}$.

Ответ: $b=\frac{1}{\pi}$.

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{1+x}{1+x^3} & \text{при } x \ne -1, \\ b & \text{при } x = -1, \end{cases}$ и точка $a=-1$.

Для непрерывности в точке $a=-1$ необходимо, чтобы предел функции в этой точке был равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to -1} f(x) = f(-1)$.

Значение функции в точке $x=-1$ по условию равно $b$:
$f(-1) = b$.

Найдём предел функции при $x \to -1$. При подстановке $x=-1$ в числитель и знаменатель дроби получаем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2)$.

$ \lim_{x\to -1} f(x) = \lim_{x\to -1} \frac{1+x}{1+x^3} = \lim_{x\to -1} \frac{1+x}{(1+x)(1-x+x^2)} $.

Так как при вычислении предела $x$ стремится к -1, но не равен ему ($x \ne -1$), мы можем сократить дробь на $(1+x)$:
$ \lim_{x\to -1} \frac{1}{1-x+x^2} = \frac{1}{1-(-1)+(-1)^2} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3} $.

Приравниваем предел и значение функции:
$b = \frac{1}{3}$.

Ответ: $b=\frac{1}{3}$.

4) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \cos x & \text{при } x \le 0, \\ b(x-1) & \text{при } x > 0, \end{cases}$ и точка $a=0$.

Для непрерывности в точке $a=0$ необходимо, чтобы $\lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{x\to 0+} f(x) = f(0)$.

Найдём левосторонний предел (при $x \to 0-$, $x < 0$). Он равен значению функции в точке $f(0)$:
$ \lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{x\to 0-} \cos x = \cos(0) = 1 $.

Найдём правосторонний предел (при $x \to 0+$, $x > 0$):
$ \lim_{x\to 0+} f(x) = \lim_{x\to 0+} b(x-1) = b(0-1) = -b $.

Приравниваем односторонние пределы:
$1 = -b$.

Отсюда находим $b$:
$b = -1$.

Ответ: $b=-1$.