Номер 152, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 3. Непрерывность функции - номер 152, страница 71.

Условие.

152. Построить график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} 2^x & \text{при } x < 2 \\ 4 + \sqrt{x-2} & \text{при } x > 2 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} \log_2 x & \text{при } x \le 2 \\ x^2 - 4x + 3 & \text{при } x > 2 \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} |x-2| & \text{при } x < 2 \\ |x-4| & \text{при } x > 2 \end{cases}$

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1} & \text{при } x \ge 2 \\ x-1 & \text{при } x < 2 \end{cases}$

Выяснить:

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$;

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой;

в) на каких промежутках функция непрерывна.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ f(x) = \begin{cases} 2^x & \text{при } x < 2, \\ 4 + \sqrt{x-2} & \text{при } x > 2 \end{cases} $

Для построения графика рассмотрим две части функции. При $x < 2$ график совпадает с графиком показательной функции $y=2^x$. В точке $x=2$ эта часть графика имеет предел, равный $2^2=4$. Точка $(2, 4)$ на графике является выколотой (не принадлежит графику). При $x > 2$ график совпадает с графиком функции $y=4+\sqrt{x-2}$. Это ветвь параболы $y^2=x$, смещенная на 2 единицы вправо и на 4 единицы вверх. В точке $x=2$ эта часть графика имеет предел, равный $4+\sqrt{2-2}=4$. Точка $(2, 4)$ также является выколотой. Функция не определена в точке $x=2$.

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$

Для существования предела в точке $x=2$ необходимо, чтобы односторонние пределы слева и справа были равны. Найдем левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} 2^x = 2^2 = 4 $. Найдем правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (4 + \sqrt{x-2}) = 4 + \sqrt{2-2} = 4 $. Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($4=4$), то предел функции в точке $x=2$ существует и равен 4.

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой

Функция является непрерывной в точке $x=c$, если выполнены три условия: 1) функция определена в точке $c$; 2) предел $ \lim_{x \to c} f(x) $ существует; 3) $ \lim_{x \to c} f(x) = f(c) $. В точке $x=2$ функция не определена, поэтому первое условие непрерывности не выполнено. Следовательно, функция не является непрерывной в точке $x=2$ и, как следствие, не является непрерывной на всей числовой прямой.

в) на каких промежутках функция непрерывна

Функция $y=2^x$ непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, она непрерывна на промежутке $(-\infty, 2)$. Функция $y=4+\sqrt{x-2}$ непрерывна на своей области определения, т.е. при $x \ge 2$. Следовательно, она непрерывна на промежутке $(2, \infty)$. В точке $x=2$ функция имеет устранимый разрыв, так как предел существует, но функция в этой точке не определена. Таким образом, функция непрерывна на объединении промежутков $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: а) да, предел существует и равен 4; б) нет, так как функция не определена в точке $x=2$; в) функция непрерывна на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

2) $ f(x) = \begin{cases} \log_2 x & \text{при } x \le 2, \\ x^2 - 4x + 3 & \text{при } x > 2 \end{cases} $

Область определения функции: $x>0$. При $x \in (0, 2]$ график совпадает с графиком логарифмической функции $y=\log_2 x$. В точке $x=2$ значение функции $f(2) = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$ принадлежит графику. При $x > 2$ график совпадает с параболой $y=x^2-4x+3$. Вершина параболы находится в точке $x = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$, значение в вершине $y = 2^2-4(2)+3 = -1$. В точке $x=2$ эта часть графика имеет предел $-1$. Точка $(2, -1)$ выколотая.

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$

Найдем односторонние пределы в точке $x=2$. Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \log_2 x = \log_2 2 = 1 $. Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 4x + 3) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 $. Так как левосторонний предел (1) не равен правостороннему пределу (-1), то предел функции в точке $x=2$ не существует.

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой

Во-первых, функция не определена для $x \le 0$, поэтому она не может быть непрерывной на всей числовой прямой. Во-вторых, так как предел в точке $x=2$ не существует, функция имеет в этой точке разрыв (разрыв первого рода, "скачок"). Следовательно, функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

в) на каких промежутках функция непрерывна

Функция $y=\log_2 x$ непрерывна на всей своей области определения $(0, \infty)$, значит, она непрерывна на $(0, 2)$. Так как $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 = f(2) $, функция непрерывна в точке $x=2$ слева, а значит непрерывна на промежутке $(0, 2]$. Функция $y=x^2-4x+3$ является многочленом и непрерывна везде, значит, она непрерывна на $(2, \infty)$. В точке $x=2$ имеется разрыв. Таким образом, функция непрерывна на промежутках $(0, 2]$ и $(2, \infty)$.

Ответ: а) нет, предел не существует; б) нет, так как функция не определена при $x \le 0$ и имеет разрыв в точке $x=2$; в) функция непрерывна на промежутках $(0, 2]$ и $(2, \infty)$.

3) $ f(x) = \begin{cases} |x-2| & \text{при } x < 2, \\ |x-4| & \text{при } x > 2 \end{cases} $

При $x < 2$, выражение $x-2$ отрицательно, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. График - луч прямой $y=2-x$. При $x > 2$, график - $y=|x-4|$. Этот график состоит из двух лучей: $y=4-x$ при $2 < x < 4$ и $y=x-4$ при $x \ge 4$. Функция не определена в точке $x=2$.

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$

Найдем односторонние пределы в точке $x=2$. Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} |x-2| = \lim_{x \to 2^-} (2-x) = 2-2 = 0 $. Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} |x-4| = |2-4| = |-2| = 2 $. Так как левосторонний предел (0) не равен правостороннему пределу (2), то предел функции в точке $x=2$ не существует.

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой

Функция не определена в точке $x=2$ и предел в этой точке не существует. Следовательно, функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

в) на каких промежутках функция непрерывна

Функция $y=|x-2|$ непрерывна на всей числовой прямой, значит, она непрерывна на $(-\infty, 2)$. Функция $y=|x-4|$ непрерывна на всей числовой прямой, значит, она непрерывна на $(2, \infty)$. В точке $x=2$ имеется разрыв первого рода ("скачок"). Следовательно, функция непрерывна на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

Ответ: а) нет, предел не существует; б) нет, так как функция не определена в точке $x=2$ и имеет в ней разрыв; в) функция непрерывна на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

4) $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1} & \text{при } x \ge 2, \\ x-1 & \text{при } x < 2 \end{cases} $

При $x \ge 2$ график функции совпадает с графиком гиперболы $y=\frac{1}{x-1}$. В точке $x=2$ значение функции $f(2)=\frac{1}{2-1}=1$. Точка $(2, 1)$ принадлежит графику. При $x < 2$ график совпадает с прямой $y=x-1$. В точке $x=2$ эта часть графика имеет предел, равный $2-1=1$. Точка $(2, 1)$ является предельной для этого луча.

а) имеет ли эта функция предел при $x \to 2$

Найдем односторонние пределы в точке $x=2$. Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x-1) = 2-1 = 1 $. Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2-1} = 1 $. Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($1=1$), то предел функции в точке $x=2$ существует и равен 1.

б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой

Проверим условия непрерывности в точке $x=2$: 1) Функция определена в точке $x=2$: $f(2) = 1$. 2) Предел в точке $x=2$ существует: $ \lim_{x \to 2} f(x) = 1 $. 3) Значение предела равно значению функции в этой точке: $ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 1 $. Все условия выполнены, значит функция непрерывна в точке $x=2$. На промежутке $(-\infty, 2)$ функция $f(x)=x-1$ непрерывна как многочлен. На промежутке $(2, \infty)$ функция $f(x)=\frac{1}{x-1}$ непрерывна как рациональная функция, знаменатель которой не обращается в ноль (точка $x=1$ не входит в этот промежуток). Так как функция непрерывна на $(-\infty, 2)$, на $(2, \infty)$ и в точке $x=2$, она непрерывна на всей числовой прямой.

в) на каких промежутках функция непрерывна

Как показано в пункте б), функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$.

Ответ: а) да, предел существует и равен 1; б) да, является; в) функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$.