Номер 157, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 4. Определение производной - номер 157, страница 75.

Условие.

157. Используя определение производной, найти производную функции:

1) $f(x) = 2x + 3$;

2) $f(x) = 5x - 6$;

3) $f(x) = -3x^2 + 2$;

4) $f(x) = 3x^2 + 5x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Определение производной функции $f(x)$ в точке $x$ имеет вид:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Используем это определение для нахождения производных заданных функций.

1) $f(x) = 2x + 3$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x) + 3 = 2x + 2\Delta x + 3$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (2x + 2\Delta x + 3) - (2x + 3) = 2x + 2\Delta x + 3 - 2x - 3 = 2\Delta x$

3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2\Delta x}{\Delta x} = 2$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 2 = 2$

Ответ: $2$

2) $f(x) = 5x - 6$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 5(x + \Delta x) - 6 = 5x + 5\Delta x - 6$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (5x + 5\Delta x - 6) - (5x - 6) = 5x + 5\Delta x - 6 - 5x + 6 = 5\Delta x$

3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{5\Delta x}{\Delta x} = 5$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 5 = 5$

Ответ: $5$

3) $f(x) = -3x^2 + 2$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = -3(x + \Delta x)^2 + 2 = -3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 2 = -3x^2 - 6x\Delta x - 3(\Delta x)^2 + 2$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (-3x^2 - 6x\Delta x - 3(\Delta x)^2 + 2) - (-3x^2 + 2) = -3x^2 - 6x\Delta x - 3(\Delta x)^2 + 2 + 3x^2 - 2 = -6x\Delta x - 3(\Delta x)^2$

3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-6x\Delta x - 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-6x - 3\Delta x)}{\Delta x} = -6x - 3\Delta x$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (-6x - 3\Delta x) = -6x - 3 \cdot 0 = -6x$

Ответ: $-6x$

4) $f(x) = 3x^2 + 5x$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x)^2 + 5(x + \Delta x) = 3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 5x + 5\Delta x = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5x + 5\Delta x$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5x + 5\Delta x) - (3x^2 + 5x) = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5x + 5\Delta x - 3x^2 - 5x = 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5\Delta x$

3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(6x + 3\Delta x + 5)}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x + 5$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (6x + 3\Delta x + 5) = 6x + 3 \cdot 0 + 5 = 6x + 5$

Ответ: $6x + 5$