Номер 151, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 3. Непрерывность функции - номер 151, страница 71.

Условие.

151. На рисунке 45 $(а—г)$ изображены графики функций. Для каждой из этих функций выяснить:

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке $[-2; 2];$

3) какие из функций являются непрерывными на интервале $(-2; 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку сами графики функций (рис. 45 а-г) не предоставлены, мы решим задачу для четырех типичных случаев, которые могут быть изображены на этих графиках: (а) полностью непрерывная функция, (б) функция с разрывом типа "скачок", (в) функция с устранимым разрывом ("выколотая точка"), (г) функция с бесконечным разрывом (вертикальная асимптота).

Анализ для графика (а)

Предположим, что на графике а изображена функция, непрерывная на всей числовой прямой, например, парабола или прямая. Ее график — это сплошная линия без разрывов.

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения такой функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$). Так как по предположению функция непрерывна в каждой точке числовой прямой, она непрерывна и на всей своей области определения.
Ответ: функция является непрерывной на своей области определения.

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Непрерывная на всей числовой прямой функция не имеет точек разрыва. Следовательно, и на отрезке $[-2; 2]$ их нет.
Ответ: точек разрыва нет.

3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Если функция непрерывна везде, то она непрерывна и на любом ее частичном интервале, в том числе и на $(-2; 1)$.
Ответ: функция является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.

Анализ для графика (б)

Предположим, что на графике б изображена функция, имеющая разрыв первого рода ("скачок") в точке $x=1$. Функция определена для всех $x$, но в точке $x=1$ ее значение скачкообразно меняется.

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения такой функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$). Однако в точке $x=1$ она имеет разрыв, так как предел слева не равен пределу справа ($\lim_{x \to 1-} f(x) \neq \lim_{x \to 1+} f(x)$). Поскольку точка разрыва $x=1$ входит в область определения, функция не является непрерывной на своей области определения.
Ответ: функция не является непрерывной на своей области определения.

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Точка разрыва функции — $x=1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Ответ: точка разрыва на отрезке $[-2; 2]$ — это $x=1$.

3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Интервал $(-2; 1)$ не содержит точку разрыва $x=1$. На всех точках данного интервала функция непрерывна. Следовательно, функция непрерывна на интервале $(-2; 1)$.
Ответ: функция является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.

Анализ для графика (в)

Предположим, что на графике в изображена функция с устранимым разрывом ("выколотая точка") в точке $x=-1$. В этой точке функция не определена, но имеет конечные пределы слева и справа.

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения такой функции исключает точку $x=-1$, т.е. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. На всей этой области определения функция непрерывна (график представляет собой сплошную линию с одной "дыркой").
Ответ: функция является непрерывной на своей области определения.

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Точка $x=-1$ является точкой разрыва, так как функция в ней не определена. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Ответ: точка разрыва на отрезке $[-2; 2]$ — это $x=-1$.

3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Интервал $(-2; 1)$ содержит точку разрыва $x=-1$. Так как функция имеет разрыв внутри этого интервала, она не является непрерывной на всем интервале $(-2; 1)$.
Ответ: функция не является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.

Анализ для графика (г)

Предположим, что на графике г изображена функция с бесконечным разрывом (вертикальной асимптотой) в точке $x=0$, например, $f(x) = 1/x$.

1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. В каждой точке своей области определения эта функция непрерывна.
Ответ: функция является непрерывной на своей области определения.

2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Точка $x=0$ является точкой разрыва второго рода, так как пределы функции при приближении к этой точке равны бесконечности. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Ответ: точка разрыва на отрезке $[-2; 2]$ — это $x=0$.

3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Интервал $(-2; 1)$ содержит точку разрыва $x=0$. Следовательно, функция не является непрерывной на всем интервале $(-2; 1)$.
Ответ: функция не является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.