Номер 151, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Непрерывность функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 151, страница 71.
№151 (с. 71)
Условие. №151 (с. 71)
скриншот условия

151. На рисунке 45 $(а—г)$ изображены графики функций. Для каждой из этих функций выяснить:
1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
2) какие точки являются точками разрыва на отрезке $[-2; 2];$
3) какие из функций являются непрерывными на интервале $(-2; 1).$
Решение 1. №151 (с. 71)



Решение 2. №151 (с. 71)

Решение 3. №151 (с. 71)
Поскольку сами графики функций (рис. 45 а-г) не предоставлены, мы решим задачу для четырех типичных случаев, которые могут быть изображены на этих графиках: (а) полностью непрерывная функция, (б) функция с разрывом типа "скачок", (в) функция с устранимым разрывом ("выколотая точка"), (г) функция с бесконечным разрывом (вертикальная асимптота).
Анализ для графика (а)
Предположим, что на графике а изображена функция, непрерывная на всей числовой прямой, например, парабола или прямая. Ее график — это сплошная линия без разрывов.
1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения такой функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$). Так как по предположению функция непрерывна в каждой точке числовой прямой, она непрерывна и на всей своей области определения.
Ответ: функция является непрерывной на своей области определения.
2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Непрерывная на всей числовой прямой функция не имеет точек разрыва. Следовательно, и на отрезке $[-2; 2]$ их нет.
Ответ: точек разрыва нет.
3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Если функция непрерывна везде, то она непрерывна и на любом ее частичном интервале, в том числе и на $(-2; 1)$.
Ответ: функция является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.
Анализ для графика (б)
Предположим, что на графике б изображена функция, имеющая разрыв первого рода ("скачок") в точке $x=1$. Функция определена для всех $x$, но в точке $x=1$ ее значение скачкообразно меняется.
1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения такой функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$). Однако в точке $x=1$ она имеет разрыв, так как предел слева не равен пределу справа ($\lim_{x \to 1-} f(x) \neq \lim_{x \to 1+} f(x)$). Поскольку точка разрыва $x=1$ входит в область определения, функция не является непрерывной на своей области определения.
Ответ: функция не является непрерывной на своей области определения.
2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Точка разрыва функции — $x=1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Ответ: точка разрыва на отрезке $[-2; 2]$ — это $x=1$.
3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Интервал $(-2; 1)$ не содержит точку разрыва $x=1$. На всех точках данного интервала функция непрерывна. Следовательно, функция непрерывна на интервале $(-2; 1)$.
Ответ: функция является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.
Анализ для графика (в)
Предположим, что на графике в изображена функция с устранимым разрывом ("выколотая точка") в точке $x=-1$. В этой точке функция не определена, но имеет конечные пределы слева и справа.
1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения такой функции исключает точку $x=-1$, т.е. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. На всей этой области определения функция непрерывна (график представляет собой сплошную линию с одной "дыркой").
Ответ: функция является непрерывной на своей области определения.
2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Точка $x=-1$ является точкой разрыва, так как функция в ней не определена. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Ответ: точка разрыва на отрезке $[-2; 2]$ — это $x=-1$.
3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Интервал $(-2; 1)$ содержит точку разрыва $x=-1$. Так как функция имеет разрыв внутри этого интервала, она не является непрерывной на всем интервале $(-2; 1)$.
Ответ: функция не является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.
Анализ для графика (г)
Предположим, что на графике г изображена функция с бесконечным разрывом (вертикальной асимптотой) в точке $x=0$, например, $f(x) = 1/x$.
1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения;
Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. В каждой точке своей области определения эта функция непрерывна.
Ответ: функция является непрерывной на своей области определения.
2) какие точки являются точками разрыва на отрезке [-2; 2];
Точка $x=0$ является точкой разрыва второго рода, так как пределы функции при приближении к этой точке равны бесконечности. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Ответ: точка разрыва на отрезке $[-2; 2]$ — это $x=0$.
3) какие из функций являются непрерывными на интервале (-2; 1).
Интервал $(-2; 1)$ содержит точку разрыва $x=0$. Следовательно, функция не является непрерывной на всем интервале $(-2; 1)$.
Ответ: функция не является непрерывной на интервале $(-2; 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 151 расположенного на странице 71 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №151 (с. 71), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.