Номер 155, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Непрерывность функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 155, страница 71.
№155 (с. 71)
Условие. №155 (с. 71)
скриншот условия


155. Найти число b, чтобы функция $f(x)$ была непрерывна в точке a, если:
1) $f(x)=\begin{cases} \log_2(x+1) & \text{при } x \le 1, \\ \frac{b}{x^2} & \text{при } x > 1 \end{cases}$, $a=1$;
2) $f(x)=\begin{cases} \sin \frac{x}{2} & \text{при } x < \pi, \\ bx & \text{при } x \ge \pi \end{cases}$, $a=\pi$;
3) $f(x)=\begin{cases} \frac{1+x}{1+x^3} & \text{при } x \ne -1, \\ b & \text{при } x = -1 \end{cases}$, $a=-1$;
4) $f(x)=\begin{cases} \cos x & \text{при } x \le 0, \\ b(x-1) & \text{при } x > 0 \end{cases}$, $a=0$.
Решение 1. №155 (с. 71)




Решение 2. №155 (с. 71)


Решение 3. №155 (с. 71)
Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $a$, если выполнены три условия:
- Функция определена в точке $a$, то есть $f(a)$ существует.
- Существует предел функции в точке $a$: $\lim_{x\to a} f(x)$. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x\to a-} f(x) = \lim_{x\to a+} f(x)$.
- Предел функции в точке $a$ равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.
Для нахождения числа $b$ в каждом случае необходимо обеспечить выполнение этих условий, что сводится к равенству односторонних пределов и значения функции в точке $a$.
1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \log_2(x+1) & \text{при } x \le 1, \\ \frac{b}{x^2} & \text{при } x > 1, \end{cases}$ и точка $a=1$.
Для непрерывности в точке $a=1$ необходимо, чтобы левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в этой точке совпадали: $ \lim_{x\to 1-} f(x) = \lim_{x\to 1+} f(x) = f(1) $.
Найдём значение функции в точке $x=1$ (используя первую ветвь, так как $x \le 1$):
$f(1) = \log_2(1+1) = \log_2(2) = 1$.
Найдём левосторонний предел (при $x \to 1-$, $x<1$):
$ \lim_{x\to 1-} f(x) = \lim_{x\to 1-} \log_2(x+1) = \log_2(1+1) = 1 $.
Найдём правосторонний предел (при $x \to 1+$, $x>1$):
$ \lim_{x\to 1+} f(x) = \lim_{x\to 1+} \frac{b}{x^2} = \frac{b}{1^2} = b $.
Для непрерывности функции необходимо приравнять односторонние пределы:
$1 = b$.
При $b=1$ все три величины ($f(1)$, левый и правый пределы) равны 1, следовательно, функция непрерывна.
Ответ: $b=1$.
2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \sin \frac{x}{2} & \text{при } x < \pi, \\ bx & \text{при } x \ge \pi, \end{cases}$ и точка $a=\pi$.
Для непрерывности в точке $a=\pi$ необходимо, чтобы $\lim_{x\to \pi-} f(x) = \lim_{x\to \pi+} f(x) = f(\pi)$.
Найдём левосторонний предел (при $x \to \pi-$, $x < \pi$):
$ \lim_{x\to \pi-} f(x) = \lim_{x\to \pi-} \sin \frac{x}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $.
Найдём правосторонний предел (при $x \to \pi+$, $x > \pi$). Он будет равен значению функции в точке $f(\pi)$ так как выражение для $x \ge \pi$ непрерывно:
$ \lim_{x\to \pi+} f(x) = \lim_{x\to \pi+} bx = b \cdot \pi $.
Приравниваем односторонние пределы:
$1 = b\pi$.
Отсюда находим $b$:
$b = \frac{1}{\pi}$.
Ответ: $b=\frac{1}{\pi}$.
3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{1+x}{1+x^3} & \text{при } x \ne -1, \\ b & \text{при } x = -1, \end{cases}$ и точка $a=-1$.
Для непрерывности в точке $a=-1$ необходимо, чтобы предел функции в этой точке был равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to -1} f(x) = f(-1)$.
Значение функции в точке $x=-1$ по условию равно $b$:
$f(-1) = b$.
Найдём предел функции при $x \to -1$. При подстановке $x=-1$ в числитель и знаменатель дроби получаем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2)$.
$ \lim_{x\to -1} f(x) = \lim_{x\to -1} \frac{1+x}{1+x^3} = \lim_{x\to -1} \frac{1+x}{(1+x)(1-x+x^2)} $.
Так как при вычислении предела $x$ стремится к -1, но не равен ему ($x \ne -1$), мы можем сократить дробь на $(1+x)$:
$ \lim_{x\to -1} \frac{1}{1-x+x^2} = \frac{1}{1-(-1)+(-1)^2} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3} $.
Приравниваем предел и значение функции:
$b = \frac{1}{3}$.
Ответ: $b=\frac{1}{3}$.
4) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \cos x & \text{при } x \le 0, \\ b(x-1) & \text{при } x > 0, \end{cases}$ и точка $a=0$.
Для непрерывности в точке $a=0$ необходимо, чтобы $\lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{x\to 0+} f(x) = f(0)$.
Найдём левосторонний предел (при $x \to 0-$, $x < 0$). Он равен значению функции в точке $f(0)$:
$ \lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{x\to 0-} \cos x = \cos(0) = 1 $.
Найдём правосторонний предел (при $x \to 0+$, $x > 0$):
$ \lim_{x\to 0+} f(x) = \lim_{x\to 0+} b(x-1) = b(0-1) = -b $.
Приравниваем односторонние пределы:
$1 = -b$.
Отсюда находим $b$:
$b = -1$.
Ответ: $b=-1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 155 расположенного на странице 71 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №155 (с. 71), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.