Номер 155, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 3. Непрерывность функции - номер 155, страница 71.

Условие.

155. Найти число b, чтобы функция $f(x)$ была непрерывна в точке a, если:

1) $f(x)=\begin{cases} \log_2(x+1) & \text{при } x \le 1, \\ \frac{b}{x^2} & \text{при } x > 1 \end{cases}$, $a=1$;

2) $f(x)=\begin{cases} \sin \frac{x}{2} & \text{при } x < \pi, \\ bx & \text{при } x \ge \pi \end{cases}$, $a=\pi$;

3) $f(x)=\begin{cases} \frac{1+x}{1+x^3} & \text{при } x \ne -1, \\ b & \text{при } x = -1 \end{cases}$, $a=-1$;

4) $f(x)=\begin{cases} \cos x & \text{при } x \le 0, \\ b(x-1) & \text{при } x > 0 \end{cases}$, $a=0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $a$, если выполнены три условия:

1. Функция определена в точке $a$, то есть $f(a)$ существует.
2. Существует предел функции в точке $a$: $\lim_{x\to a} f(x)$. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x\to a-} f(x) = \lim_{x\to a+} f(x)$.
3. Предел функции в точке $a$ равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.

Для нахождения числа $b$ в каждом случае необходимо обеспечить выполнение этих условий, что сводится к равенству односторонних пределов и значения функции в точке $a$.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \log_2(x+1) & \text{при } x \le 1, \\ \frac{b}{x^2} & \text{при } x > 1, \end{cases}$ и точка $a=1$.

Для непрерывности в точке $a=1$ необходимо, чтобы левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в этой точке совпадали: $ \lim_{x\to 1-} f(x) = \lim_{x\to 1+} f(x) = f(1) $.

Найдём значение функции в точке $x=1$ (используя первую ветвь, так как $x \le 1$):
$f(1) = \log_2(1+1) = \log_2(2) = 1$.

Найдём левосторонний предел (при $x \to 1-$, $x<1$):
$ \lim_{x\to 1-} f(x) = \lim_{x\to 1-} \log_2(x+1) = \log_2(1+1) = 1 $.

Найдём правосторонний предел (при $x \to 1+$, $x>1$):
$ \lim_{x\to 1+} f(x) = \lim_{x\to 1+} \frac{b}{x^2} = \frac{b}{1^2} = b $.

Для непрерывности функции необходимо приравнять односторонние пределы:
$1 = b$.

При $b=1$ все три величины ($f(1)$, левый и правый пределы) равны 1, следовательно, функция непрерывна.

Ответ: $b=1$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \sin \frac{x}{2} & \text{при } x < \pi, \\ bx & \text{при } x \ge \pi, \end{cases}$ и точка $a=\pi$.

Для непрерывности в точке $a=\pi$ необходимо, чтобы $\lim_{x\to \pi-} f(x) = \lim_{x\to \pi+} f(x) = f(\pi)$.

Найдём левосторонний предел (при $x \to \pi-$, $x < \pi$):
$ \lim_{x\to \pi-} f(x) = \lim_{x\to \pi-} \sin \frac{x}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $.

Найдём правосторонний предел (при $x \to \pi+$, $x > \pi$). Он будет равен значению функции в точке $f(\pi)$ так как выражение для $x \ge \pi$ непрерывно:
$ \lim_{x\to \pi+} f(x) = \lim_{x\to \pi+} bx = b \cdot \pi $.

Приравниваем односторонние пределы:
$1 = b\pi$.

Отсюда находим $b$:
$b = \frac{1}{\pi}$.

Ответ: $b=\frac{1}{\pi}$.

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{1+x}{1+x^3} & \text{при } x \ne -1, \\ b & \text{при } x = -1, \end{cases}$ и точка $a=-1$.

Для непрерывности в точке $a=-1$ необходимо, чтобы предел функции в этой точке был равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to -1} f(x) = f(-1)$.

Значение функции в точке $x=-1$ по условию равно $b$:
$f(-1) = b$.

Найдём предел функции при $x \to -1$. При подстановке $x=-1$ в числитель и знаменатель дроби получаем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2)$.

$ \lim_{x\to -1} f(x) = \lim_{x\to -1} \frac{1+x}{1+x^3} = \lim_{x\to -1} \frac{1+x}{(1+x)(1-x+x^2)} $.

Так как при вычислении предела $x$ стремится к -1, но не равен ему ($x \ne -1$), мы можем сократить дробь на $(1+x)$:
$ \lim_{x\to -1} \frac{1}{1-x+x^2} = \frac{1}{1-(-1)+(-1)^2} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3} $.

Приравниваем предел и значение функции:
$b = \frac{1}{3}$.

Ответ: $b=\frac{1}{3}$.

4) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \cos x & \text{при } x \le 0, \\ b(x-1) & \text{при } x > 0, \end{cases}$ и точка $a=0$.

Для непрерывности в точке $a=0$ необходимо, чтобы $\lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{x\to 0+} f(x) = f(0)$.

Найдём левосторонний предел (при $x \to 0-$, $x < 0$). Он равен значению функции в точке $f(0)$:
$ \lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{x\to 0-} \cos x = \cos(0) = 1 $.

Найдём правосторонний предел (при $x \to 0+$, $x > 0$):
$ \lim_{x\to 0+} f(x) = \lim_{x\to 0+} b(x-1) = b(0-1) = -b $.

Приравниваем односторонние пределы:
$1 = -b$.

Отсюда находим $b$:
$b = -1$.

Ответ: $b=-1$.