Номер 155, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 3. Непрерывность функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 155, страница 71.

№155 (с. 71)
Условие. №155 (с. 71)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 71, номер 155, Условие Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 71, номер 155, Условие (продолжение 2)

155. Найти число b, чтобы функция $f(x)$ была непрерывна в точке a, если:

1) $f(x)=\begin{cases} \log_2(x+1) & \text{при } x \le 1, \\ \frac{b}{x^2} & \text{при } x > 1 \end{cases}$, $a=1$;

2) $f(x)=\begin{cases} \sin \frac{x}{2} & \text{при } x < \pi, \\ bx & \text{при } x \ge \pi \end{cases}$, $a=\pi$;

3) $f(x)=\begin{cases} \frac{1+x}{1+x^3} & \text{при } x \ne -1, \\ b & \text{при } x = -1 \end{cases}$, $a=-1$;

4) $f(x)=\begin{cases} \cos x & \text{при } x \le 0, \\ b(x-1) & \text{при } x > 0 \end{cases}$, $a=0$.

Решение 1. №155 (с. 71)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 71, номер 155, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 71, номер 155, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 71, номер 155, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 71, номер 155, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №155 (с. 71)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 71, номер 155, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 71, номер 155, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №155 (с. 71)

Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $a$, если выполнены три условия:

  1. Функция определена в точке $a$, то есть $f(a)$ существует.
  2. Существует предел функции в точке $a$: $\lim_{x\to a} f(x)$. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x\to a-} f(x) = \lim_{x\to a+} f(x)$.
  3. Предел функции в точке $a$ равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.

Для нахождения числа $b$ в каждом случае необходимо обеспечить выполнение этих условий, что сводится к равенству односторонних пределов и значения функции в точке $a$.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \log_2(x+1) & \text{при } x \le 1, \\ \frac{b}{x^2} & \text{при } x > 1, \end{cases}$ и точка $a=1$.

Для непрерывности в точке $a=1$ необходимо, чтобы левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в этой точке совпадали: $ \lim_{x\to 1-} f(x) = \lim_{x\to 1+} f(x) = f(1) $.

Найдём значение функции в точке $x=1$ (используя первую ветвь, так как $x \le 1$):
$f(1) = \log_2(1+1) = \log_2(2) = 1$.

Найдём левосторонний предел (при $x \to 1-$, $x<1$):
$ \lim_{x\to 1-} f(x) = \lim_{x\to 1-} \log_2(x+1) = \log_2(1+1) = 1 $.

Найдём правосторонний предел (при $x \to 1+$, $x>1$):
$ \lim_{x\to 1+} f(x) = \lim_{x\to 1+} \frac{b}{x^2} = \frac{b}{1^2} = b $.

Для непрерывности функции необходимо приравнять односторонние пределы:
$1 = b$.

При $b=1$ все три величины ($f(1)$, левый и правый пределы) равны 1, следовательно, функция непрерывна.

Ответ: $b=1$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \sin \frac{x}{2} & \text{при } x < \pi, \\ bx & \text{при } x \ge \pi, \end{cases}$ и точка $a=\pi$.

Для непрерывности в точке $a=\pi$ необходимо, чтобы $\lim_{x\to \pi-} f(x) = \lim_{x\to \pi+} f(x) = f(\pi)$.

Найдём левосторонний предел (при $x \to \pi-$, $x < \pi$):
$ \lim_{x\to \pi-} f(x) = \lim_{x\to \pi-} \sin \frac{x}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $.

Найдём правосторонний предел (при $x \to \pi+$, $x > \pi$). Он будет равен значению функции в точке $f(\pi)$ так как выражение для $x \ge \pi$ непрерывно:
$ \lim_{x\to \pi+} f(x) = \lim_{x\to \pi+} bx = b \cdot \pi $.

Приравниваем односторонние пределы:
$1 = b\pi$.

Отсюда находим $b$:
$b = \frac{1}{\pi}$.

Ответ: $b=\frac{1}{\pi}$.

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{1+x}{1+x^3} & \text{при } x \ne -1, \\ b & \text{при } x = -1, \end{cases}$ и точка $a=-1$.

Для непрерывности в точке $a=-1$ необходимо, чтобы предел функции в этой точке был равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to -1} f(x) = f(-1)$.

Значение функции в точке $x=-1$ по условию равно $b$:
$f(-1) = b$.

Найдём предел функции при $x \to -1$. При подстановке $x=-1$ в числитель и знаменатель дроби получаем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2)$.

$ \lim_{x\to -1} f(x) = \lim_{x\to -1} \frac{1+x}{1+x^3} = \lim_{x\to -1} \frac{1+x}{(1+x)(1-x+x^2)} $.

Так как при вычислении предела $x$ стремится к -1, но не равен ему ($x \ne -1$), мы можем сократить дробь на $(1+x)$:
$ \lim_{x\to -1} \frac{1}{1-x+x^2} = \frac{1}{1-(-1)+(-1)^2} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3} $.

Приравниваем предел и значение функции:
$b = \frac{1}{3}$.

Ответ: $b=\frac{1}{3}$.

4) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \cos x & \text{при } x \le 0, \\ b(x-1) & \text{при } x > 0, \end{cases}$ и точка $a=0$.

Для непрерывности в точке $a=0$ необходимо, чтобы $\lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{x\to 0+} f(x) = f(0)$.

Найдём левосторонний предел (при $x \to 0-$, $x < 0$). Он равен значению функции в точке $f(0)$:
$ \lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{x\to 0-} \cos x = \cos(0) = 1 $.

Найдём правосторонний предел (при $x \to 0+$, $x > 0$):
$ \lim_{x\to 0+} f(x) = \lim_{x\to 0+} b(x-1) = b(0-1) = -b $.

Приравниваем односторонние пределы:
$1 = -b$.

Отсюда находим $b$:
$b = -1$.

Ответ: $b=-1$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 155 расположенного на странице 71 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №155 (с. 71), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.