Номер 160, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 4. Определение производной - номер 160, страница 75.

Условие.

160. Закон движения задан формулой:

1) $s(t) = 2t + 1$; 2) $s(t) = 0,3t - 1$.

Найти среднюю скорость движения от $t_1 = 2$ до $t_2 = 8$ и скорость движения в момент $t_1 = 2$ и в момент $t_2 = 8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для закона движения $s(t) = 2t + 1$

Для нахождения средней скорости движения на промежутке времени от $t_1 = 2$ до $t_2 = 8$ воспользуемся формулой средней скорости:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Сначала найдем положения тела в моменты времени $t_1$ и $t_2$:
$s(t_1) = s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
$s(t_2) = s(8) = 2 \cdot 8 + 1 = 16 + 1 = 17$

Теперь подставим найденные значения в формулу средней скорости:
$v_{ср} = \frac{17 - 5}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2$

Для нахождения мгновенной скорости движения в конкретный момент времени необходимо найти производную функции пути $s(t)$ по времени $t$. Мгновенная скорость $v(t)$ равна $s'(t)$.
$v(t) = s'(t) = (2t + 1)' = 2$

Поскольку производная является постоянной величиной (константой), мгновенная скорость не зависит от времени. Это означает, что движение является равномерным.
Таким образом, скорость в момент $t_1 = 2$ равна $v(2) = 2$, и в момент $t_2 = 8$ скорость также равна $v(8) = 2$.

Ответ: средняя скорость движения от $t_1=2$ до $t_2=8$ равна 2; скорость в момент $t_1=2$ равна 2; скорость в момент $t_2=8$ равна 2.

2) Для закона движения $s(t) = 0.3t - 1$

Аналогично первому пункту, найдем среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 2$ до $t_2 = 8$.
Найдем положения тела в эти моменты времени:
$s(t_1) = s(2) = 0.3 \cdot 2 - 1 = 0.6 - 1 = -0.4$
$s(t_2) = s(8) = 0.3 \cdot 8 - 1 = 2.4 - 1 = 1.4$

Вычислим среднюю скорость:
$v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{1.4 - (-0.4)}{8 - 2} = \frac{1.4 + 0.4}{6} = \frac{1.8}{6} = 0.3$

Теперь найдем мгновенную скорость, взяв производную от функции пути $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = (0.3t - 1)' = 0.3$

Как и в предыдущем случае, мгновенная скорость является константой, что говорит о равномерном движении.
Следовательно, скорость в момент $t_1 = 2$ равна $v(2) = 0.3$, и в момент $t_2 = 8$ скорость также равна $v(8) = 0.3$.

Ответ: средняя скорость движения от $t_1=2$ до $t_2=8$ равна 0.3; скорость в момент $t_1=2$ равна 0.3; скорость в момент $t_2=8$ равна 0.3.