Номер 156, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 4. Определение производной - номер 156, страница 75.

Условие.

156. Составить разностное отношение, если:

1) $f(x) = 4x$;

2) $f(x) = x - 1$;

3) $f(x) = 4x^2$;

4) $f(x) = x^2 + 2$;

5) $f(x) = x^3 - x^2$;

6) $f(x) = 2x^3 + x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Разностное отношение для функции $f(x)$ — это отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$. Оно вычисляется по формуле:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Найдем разностное отношение для каждой из заданных функций.

---

1) Для функции $f(x) = 4x$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = 4(x + \Delta x) = 4x + 4\Delta x$.

$\Delta f = (4x + 4\Delta x) - 4x = 4\Delta x$.

Теперь составим разностное отношение:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{4\Delta x}{\Delta x} = 4$.

Ответ: $4$.

---

2) Для функции $f(x) = x - 1$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x) - 1$.

$\Delta f = ((x + \Delta x) - 1) - (x - 1) = x + \Delta x - 1 - x + 1 = \Delta x$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.

Ответ: $1$.

---

3) Для функции $f(x) = 4x^2$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = 4(x + \Delta x)^2 = 4(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = 4x^2 + 8x\Delta x + 4(\Delta x)^2$.

$\Delta f = (4x^2 + 8x\Delta x + 4(\Delta x)^2) - 4x^2 = 8x\Delta x + 4(\Delta x)^2$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{8x\Delta x + 4(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(8x + 4\Delta x)}{\Delta x} = 8x + 4\Delta x$.

Ответ: $8x + 4\Delta x$.

---

4) Для функции $f(x) = x^2 + 2$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2$.

$\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2) - (x^2 + 2) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x$.

Ответ: $2x + \Delta x$.

---

5) Для функции $f(x) = x^3 - x^2$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^3 - (x + \Delta x)^2 = (x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2)$.

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2) - (x^3 - x^2)$.

$\Delta f = 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(3x^2 + 3x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2x - \Delta x)}{\Delta x} = 3x^2 + 3x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2x - \Delta x$.

Ответ: $3x^2 - 2x + (3x - 1)\Delta x + (\Delta x)^2$.

---

6) Для функции $f(x) = 2x^3 + x$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x)^3 + (x + \Delta x) = 2(x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + x + \Delta x$.

$f(x + \Delta x) = 2x^3 + 6x^2\Delta x + 6x(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3 + x + \Delta x$.

$\Delta f = (2x^3 + 6x^2\Delta x + 6x(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3 + x + \Delta x) - (2x^3 + x)$.

$\Delta f = 6x^2\Delta x + 6x(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3 + \Delta x$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(6x^2 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2 + 1)}{\Delta x} = 6x^2 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2 + 1$.

Ответ: $6x^2 + 1 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.