Номер 150, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 3. Непрерывность функции - номер 150, страница 70.

Условие.

150. Построить график функции:

1) $y = \begin{cases} x - 2 \text{ при } x \neq 3 \\ 4 \text{ при } x = 3 \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 1 - x^2 \text{ при } x \neq 2 \\ 3 \text{ при } x = 2 \end{cases}$

3) $y = \begin{cases} x^2 - 2x \text{ при } x \leq 3 \\ x - 3 \text{ при } x > 3 \end{cases}$

4) $y = \begin{cases} 2 - \frac{1}{2}x^2 \text{ при } x < 2 \\ x^2 - 4 \text{ при } x \geq 2 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \begin{cases} x - 2 & \text{при } x \neq 3, \\ 4 & \text{при } x = 3; \end{cases}$

Для построения графика этой функции, мы рассмотрим две ее части.

Первая часть: $y = x - 2$ для всех значений $x$, кроме $x=3$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Возьмем, например, $x = 0$, тогда $y = 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$. Возьмем $x = 2$, тогда $y = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(2, 0)$. Проводим прямую через эти две точки.

Поскольку данное правило не применяется при $x=3$, мы должны "выколоть" точку на этой прямой, абсцисса которой равна 3. Найдем ординату этой точки: $y = 3 - 2 = 1$. Таким образом, на прямой $y=x-2$ будет выколотая точка с координатами $(3, 1)$.

Вторая часть: $y = 4$ при $x = 3$. Это определяет одну единственную точку на графике с координатами $(3, 4)$. Эту точку мы отмечаем закрашенным (невыколотым) кружком.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = x - 2$ с выколотой точкой $(3, 1)$ и отдельно стоящую точку $(3, 4)$.

2) $y = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{при } x \neq 2, \\ 3 & \text{при } x = 2; \end{cases}$

График этой функции также состоит из двух частей.

Первая часть: $y = 1 - x^2$ для всех $x$, кроме $x=2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0$. Ордината вершины $y_v = 1 - 0^2 = 1$. Координаты вершины $(0, 1)$.

В точке $x=2$ функция не определена по этой формуле, поэтому мы должны найти и выколоть соответствующую точку на параболе. При $x=2$ ордината равна $y = 1 - 2^2 = 1 - 4 = -3$. Таким образом, на параболе будет выколотая точка с координатами $(2, -3)$.

Вторая часть: $y = 3$ при $x=2$. Это отдельная точка на графике с координатами $(2, 3)$, которую мы отмечаем закрашенным кружком.

Ответ: График функции представляет собой параболу $y = 1 - x^2$ с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вниз, на которой выколота точка $(2, -3)$, и отдельно стоящую точку $(2, 3)$.

3) $y = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{при } x \le 3, \\ x - 3 & \text{при } x > 3; \end{cases}$

Эта функция задана двумя различными формулами на двух смежных промежутках.

На промежутке $x \le 3$ строим график функции $y = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-2}{2(1)} = 1$, $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Найдем точку на границе промежутка, при $x=3$: $y = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$. Так как значение $x=3$ входит в промежуток ($x \le 3$), точка $(3, 3)$ является конечной точкой этой части графика и будет закрашенной.

На промежутке $x > 3$ строим график функции $y = x - 3$. Это прямая линия. Графиком является луч, начинающийся в точке, где $x=3$, но не включая ее. Найдем координаты начальной точки луча: при $x=3$, $y = 3-3 = 0$. Точка $(3, 0)$ будет выколотой. Для построения луча возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x=4$, тогда $y=4-3=1$. Луч проходит через точку $(4, 1)$.

Ответ: График состоит из двух частей. Для $x \le 3$ это часть параболы $y=x^2-2x$ с вершиной в $(1, -1)$, которая заканчивается закрашенной точкой $(3, 3)$. Для $x > 3$ это луч, который выходит из выколотой точки $(3, 0)$ и проходит через точку $(4, 1)$. Функция имеет разрыв в точке $x=3$.

4) $y = \begin{cases} 2 - \frac{1}{2}x^2 & \text{при } x < 2, \\ x^2 - 4 & \text{при } x \ge 2. \end{cases}$

Эта функция также задана на двух промежутках.

На промежутке $x < 2$ строим график функции $y = 2 - \frac{1}{2}x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x_v = 0$, $y_v = 2$. Координаты вершины $(0, 2)$. На границе промежутка при $x=2$ найдем значение: $y = 2 - \frac{1}{2}(2^2) = 2 - 2 = 0$. Так как значение $x=2$ не входит в промежуток ($x < 2$), точка $(2, 0)$ будет выколотой.

На промежутке $x \ge 2$ строим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -4)$, но нас интересует только та часть графика, где $x \ge 2$. Найдем начальную точку этой части графика при $x=2$: $y = 2^2 - 4 = 0$. Так как значение $x=2$ входит в промежуток ($x \ge 2$), точка $(2, 0)$ будет закрашенной.

Сопоставляя обе части, мы видим, что левая часть графика заканчивается в выколотой точке $(2, 0)$, а правая часть начинается в закрашенной точке $(2, 0)$. Это означает, что в точке $x=2$ разрыва нет, и график является непрерывной линией.

Ответ: График состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке $(2, 0)$. При $x < 2$ это часть параболы $y = 2 - \frac{1}{2}x^2$ с вершиной в $(0, 2)$. При $x \ge 2$ это часть параболы $y = x^2 - 4$, начинающаяся в точке $(2, 0)$.