Номер 149, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 3. Непрерывность функции - номер 149, страница 70.

Условие.

149. Найти область определения и множество значений функ-

ции:

1) $y = x^2 - 3x - 4;$

2) $y = 3 - 2x - x^2;$

3) $y = \frac{1}{x-1};$

4) $y = \frac{2+x}{x+1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = x^2 - 3x - 4$

Область определения: Данная функция является квадратичной (многочленом). Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел, так как для любого действительного $x$ можно вычислить значение $y$. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), поэтому ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$: $y_0 = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$ или в виде дроби: $y_0 = (\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} - 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 4 = \frac{9-18-16}{4} = -\frac{25}{4}$

Так как ветви параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке $(1.5; -6.25)$, множество значений функции — это все числа, большие или равные $-6.25$. Следовательно, множество значений $E(y) = [-6.25; +\infty)$ или $E(y) = [-\frac{25}{4}; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [-\frac{25}{4}; +\infty)$.

2) $y = 3 - 2x - x^2$

Область определения: Функция $y = -x^2 - 2x + 3$ является квадратичной. Ее область определения — множество всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), поэтому ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функция принимает в своей вершине. Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$

Ордината вершины: $y_0 = 3 - 2(-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4$

Так как ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(-1; 4)$, множество значений функции — это все числа, меньшие или равные $4$. Следовательно, множество значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

3) $y = \frac{1}{x-1}$

Область определения: Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не обращается в ноль. $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$ Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме $1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений: Чтобы найти множество значений, можно выразить переменную $x$ через $y$: $y = \frac{1}{x-1}$ $y(x-1) = 1$ $yx - y = 1$ $yx = 1+y$ $x = \frac{1+y}{y}$

В полученном выражении для $x$ переменная $y$ находится в знаменателе, следовательно, $y$ не может быть равно нулю. Все остальные значения $y$ допустимы. Следовательно, множество значений — это все действительные числа, кроме $0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) $y = \frac{2+x}{x+1}$

Область определения: Это дробно-рациональная функция. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ Область определения — это все действительные числа, кроме $-1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Множество значений: Преобразуем выражение, выделив целую часть дроби: $y = \frac{x+2}{x+1} = \frac{(x+1) + 1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1}$

Из этого представления видно, что дробь $\frac{1}{x+1}$ не может быть равна нулю ни при каком значении $x$ из области определения. Следовательно, значение $y$ никогда не может быть равно $1$. Либо, как в предыдущем пункте, выразим $x$ через $y$: $y(x+1) = x+2$ $yx+y = x+2$ $yx-x = 2-y$ $x(y-1) = 2-y$ $x = \frac{2-y}{y-1}$

Из полученной формулы видно, что $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$. Таким образом, множество значений — это все действительные числа, кроме $1$. $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.